以下是一个使用 Python 编写的程序，用于**计算从 1! 到 20! 的阶乘之和**，即： \[ S = 1! + 2! + 3! + \cdots + 20! \] 由于 20! = 2,432,902,008,176,640,000（约 2.43 × 10¹⁸），已远超 C 语言 `long long` 范围，但 Python **原生支持任意精度整数**，因此可直接精确计算，无需担心溢出。 --- ### ✅ 方法一：迭代累乘（高效、推荐 ✅） 避免重复计算（如不每次从头算 `n!`），而是利用 `n! = (n-1)! × n` 递推： ```python total_sum = 0 factorial = 1 # 当前阶乘值，初始为 0! = 1（但我们从1!开始） print("阶乘求和过程：") for n in range(1, 21): # n 从 1 到 20（含） factorial *= n # 更新为 n! total_sum += factorial print(f"{n}! = {factorial}") print(f"\n→ 1! + 2! + ... + 20! = {total_sum}") ``` ✅ **输出节选**（前几项 + 最终结果）： ``` 阶乘求和过程： 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 ... 20! = 2432902008176640000 → 1! + 2! + ... + 20! = 2561327494111820313 ``` > ✅ 最终精确和为：**2,561,327,494,111,820,313**（共 19 位整数） --- ### ✅ 方法二：函数封装版（更模块化，便于复用） ```python def factorial_sum(n): """返回 1! + 2! + ... + n! 的和""" if n < 1: return 0 total = 0 fact = 1 for i in range(1, n + 1): fact *= i total += fact return total # 计算 1! 到 20! result = factorial_sum(20) print(f"1! + 2! + ... + 20! = {result}") ``` --- ### ✅ 方法三：使用 `math.factorial()`（简洁但效率略低 ❗） ⚠️ 注意：`math.factorial(i)` 每次都从头计算，时间复杂度 O(n²)，而迭代法是 O(n)。对 n=20 影响极小，但原则上不推荐用于大 n： ```python import math total = sum(math.factorial(i) for i in range(1, 21)) print(f"1! + 2! + ... + 20! = {total}") ``` --- ### 🔍 验证小技巧（交叉验证） 我们可以手动验算前几项： - 1! = 1 - 1!+2! = 1+2 = 3 - +3! = 3+6 = 9 - +4! = 9+24 = 33 - +5! = 33+120 = 153 用上述程序运行 `range(1,6)` 可得 `153` → ✅ 正确。 --- ### 📌 补充说明 - Python 整数无位数限制，20! 及其和均可**精确表示**（非浮点近似）； - 若误用 `float` 或 `numpy.int64` 会导致精度丢失（如 `20!` 在 `int64` 中会溢出或截断），但纯 Python `int` 安全； - 若需格式化大数（如每三位加逗号），可用：`f"{result:,}"` → `"2,561,327,494,111,820,313"`。 ---