以下是根据给定条件（$\beta_0 = 1$, $\beta_1 = 2$; $\epsilon$ 服从 $N(0,1)$）生成 100 组随机数，并进行参数估计、计算 $\beta_1$ 估计值方差和估计值与真实值偏差，最后使用 `sklearn` 和 `statsmodels` 进行结果比较的代码： ```python import numpy as np from sklearn.linear_model import LinearRegression import statsmodels.api as sm # 生成 100 组随机数 n = 100 x = np.random.randn(n) # 设计矩阵 W = np.column_stack((np.ones(n), x)) # 真实参数 beta_true = np.array([1, 2]) # 噪声 epsilon = np.random.normal(0, 1, n) # 生成响应变量 y = np.dot(W, beta_true) + epsilon # 使用 numpy 手动计算参数估计 Q = np.eye(n) Q_inv = np.linalg.inv(Q) K = np.dot(Q_inv, W).dot(np.linalg.inv(np.dot(W.T, Q_inv).dot(W))) beta_hat_np = np.dot(K.T, y) # 使用 sklearn 进行参数估计 model_sklearn = LinearRegression() model_sklearn.fit(x.reshape(-1, 1), y) beta_hat_sklearn = np.array([model_sklearn.intercept_, model_sklearn.coef_[0]]) # 使用 statsmodels 进行参数估计 X = sm.add_constant(x) model_statsmodels = sm.OLS(y, X).fit() beta_hat_statsmodels = model_statsmodels.params # 计算 beta_1 估计值方差和偏差 # 手动计算的 beta_1 估计值方差和偏差 beta_1_hat_np = beta_hat_np[1] var_beta_1_np = np.var(beta_1_hat_np) bias_beta_1_np = beta_1_hat_np - beta_true[1] # sklearn 的 beta_1 估计值方差和偏差 beta_1_hat_sklearn = beta_hat_sklearn[1] var_beta_1_sklearn = np.var(beta_1_hat_sklearn) bias_beta_1_sklearn = beta_1_hat_sklearn - beta_true[1] # statsmodels 的 beta_1 估计值方差和偏差 beta_1_hat_statsmodels = beta_hat_statsmodels[1] var_beta_1_statsmodels = model_statsmodels.bse[1]**2 bias_beta_1_statsmodels = beta_1_hat_statsmodels - beta_true[1] print(f"手动计算的参数估计: {beta_hat_np}") print(f"sklearn 的参数估计: {beta_hat_sklearn}") print(f"statsmodels 的参数估计: {beta_hat_statsmodels}") print(f"手动计算的 beta_1 方差: {var_beta_1_np}, 偏差: {bias_beta_1_np}") print(f"sklearn 的 beta_1 方差: {var_beta_1_sklearn}, 偏差: {bias_beta_1_sklearn}") print(f"statsmodels 的 beta_1 方差: {var_beta_1_statsmodels}, 偏差: {bias_beta_1_statsmodels}") ``` ### 代码解释： 1. **数据生成**：首先生成 100 个随机的 $x$ 值，然后根据线性模型 $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$ 生成响应变量 $y$，其中 $\epsilon$ 服从 $N(0,1)$。 2. **手动计算参数估计**：使用高斯 - 马尔可夫模型的公式计算参数估计值。 3. **使用 `sklearn` 进行参数估计**：使用 `LinearRegression` 类进行线性回归。 4. **使用 `statsmodels` 进行参数估计**：使用 `OLS` 类进行普通最小二乘回归。 5. **计算 $\beta_1$ 估计值方差和偏差**：分别计算手动计算、`sklearn` 和 `statsmodels` 三种方法下 $\beta_1$ 估计值的方差和偏差。 ###