### 题目重述 根据给定的步骤，使用Python生成一个线性回归模型，并完成以下任务： 1. 按照指定步骤生成线性回归模型。 2. 将因变量矩阵加上一列1（代表截距项），重新计算回归系数和拟合值。 3. 绘制 $\hat{y}$ 和 $\hat{y_1}$ 的散点图、直方图及密度估计图，并将这三张图以1行3列的形式展示。 ### 给出答案（答案为带注释的代码块） ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import uniform, norm # 设置随机种子 np.random.seed(42) # 生成自变量矩阵X和误差项e X = uniform.rvs(loc=10, scale=40, size=(100, 4)) e = norm.rvs(size=100) # 确定回归系数β beta_true = np.array([1, 2, 3, 4]) # 构造因变量y y = X @ beta_true + e # 计算回归系数β的估计值 X_transpose = X.T beta_hat = np.linalg.inv(X_transpose @ X) @ X_transpose @ y # 计算拟合值y_hat y_hat = X @ beta_hat # 将因变量矩阵加上一列1 X1 = np.column_stack((np.ones(100), X)) # 计算新的回归系数β的估计值 X1_transpose = X1.T beta_hat1 = np.linalg.inv(X1_transpose @ X1) @ X1_transpose @ y # 计算新的拟合值y_hat1 y_hat1 = X1 @ beta_hat1 # 绘制y_hat - y_hat1的散点图、直方图及密度估计图 fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5)) # 散点图 axs[0].scatter(y_hat, y_hat1) axs[0].set_title('Scatter Plot of y_hat and y_hat1') # 直方图 axs[1].hist(y_hat - y_hat1, bins=20, density=True, alpha=0.6, color='g') axs[1].set_title('Histogram of y_hat - y_hat1') # 密度估计图 axs[2].hist(y_hat - y_hat1, bins=20, density=True, alpha=0.6, color='b') axs[2].plot(np.linspace(min(y_hat - y_hat1), max(y_hat - y_hat1), 100), norm.pdf(np.linspace(min(y_hat - y_hat1), max(y_hat - y_hat1), 100), loc=np.mean(y_hat - y_hat1), scale=np.std(y_hat - y_hat1))) axs[2].set_title('Density Estimate of y_hat - y_hat1') plt.show() ``` ### 代码解析 - 使用`numpy`库生成服从均匀分布和标准正态分布的数据； - 通过矩阵运算构建线性回归模型，包括计算回归系数和拟合值； - 使用`matplotlib`库绘制三种图形：散点图、直方图和密度估计图； - 在绘制密度估计图时，同时绘制了正态分布曲线进行对比。 ### 知识点 1. **线性回归**：通过最小二乘法求解回归系数，$\hat{\beta}=(X^\top X)^{-1}X^\top y$。 2. **矩阵运算**：利用矩阵乘法和转置实现线性回归模型的构建。 3. **数据可视化**：使用Matplotlib绘制多种类型的图表以直观展示数据分析结果。