### 编写基于牛顿迭代法的 Python 代码以求解函数 \( f(x) = x e^x - 1 \) 以下是为函数 \( f(x) = x e^x - 1 \) 编写的 Python 代码，使用了牛顿迭代法。代码中包含了目标函数、其导数以及实现牛顿迭代法的函数。 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt ### 定义目标函数 f(x) = x * e^x - 1 def f(x): return x * np.exp(x) - 1 # 目标函数定义[^1] ### 定义目标函数的导数 f'(x) = e^x + x * e^x def f_prime(x): return np.exp(x) + x * np.exp(x) # 导数函数定义 ### 实现牛顿迭代法 def newton_raphson_method(f, f_prime, x0, tolerance=1e-7, max_iterations=1000): x = x0 for i in range(max_iterations): f_x = f(x) f_prime_x = f_prime(x) if f_prime_x == 0: print("Derivative is zero. No solution found.") # 检查导数是否为零 return None x_new = x - f_x / f_prime_x if abs(x_new - x) < tolerance: # 检查是否满足收敛条件 return x_new x = x_new print("Exceeded maximum iterations. No solution found.") # 超过最大迭代次数时返回 return None ### 设置初始猜测值 initial_guess = 0.5 ### 调用牛顿迭代法求解 solution = newton_raphson_method(f, f_prime, initial_guess) if solution is not None: print(f"Solution found: x = {solution:.7f}") # 输出结果 ### 绘制函数图像以验证结果 x_vals = np.linspace(-2, 2, 400) y_vals = f(x_vals) plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(x_vals, y_vals, label=r"$f(x) = x e^x - 1$", color="blue") plt.axhline(0, color="black", linestyle="--", linewidth=0.8) plt.scatter(solution, f(solution), color="red", label=f"Root at x={solution:.7f}") plt.title("Newton-Raphson Method Visualization") plt.xlabel("x") plt.ylabel("f(x)") plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` --- ### 代码解析 1. **目标函数与导数**： - 目标函数 \( f(x) = x e^x - 1 \) 和其导数 \( f'(x) = e^x + x e^x \) 被分别定义为 `f(x)` 和 `f_prime(x)` 函数。 2. **牛顿迭代法实现**： - 函数 `newton_raphson_method` 接受目标函数 `f`、其导数 `f_prime`、初始猜测值 `x0`、容差 `tolerance` 和最大迭代次数 `max_iterations`。 - 在每次迭代中，计算当前点的函数值和导数值，并更新公式 \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)。 - 如果导数值为零，则抛出警告并终止程序。 - 如果两次迭代之间的差值小于容差，则认为已找到根并返回结果。 - 如果超过最大迭代次数仍未收敛，则输出警告信息并返回 `None`。 3. **初始猜测值**： - 初始猜测值设置为 \( x_0 = 0.5 \)，可以根据实际情况调整。 4. **绘图验证**： - 使用 `matplotlib` 库绘制目标函数图像，并在图中标记找到的根的位置，以便直观验证结果。 --- ###