以下是修改后的代码，针对给定的曲线 \( y = (x + 3)^2 - 3 \cdot (3^x + 1) \)，生成其5项、10项和15项泰勒展开式的近似曲线，并绘制出相应的图形。 ```python import sympy as sp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 设置字体以支持中文显示 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 将 x 定义为符号变量 x = sp.symbols('x') # 原函数定义 func = (x + 3)**2 - 3 * (3**x + 1) def PolynomialApproximation(func, num_terms): """ 计算指定函数的泰勒多项式近似。 :param func: 需要展开的目标函数 :param num_terms: 泰勒展开需要保留的项数 :return: 近似的泰勒多项式表达式 """ sums = 0 for i in range(num_terms): # 第 i 次导数值 / i 的阶乘 numerator = func.diff(x, i).evalf(subs={x: 0}) denominator = np.math.factorial(i) sums += numerator / denominator * x**i return sums # 获取不同项数下的泰勒展开式 sum5 = PolynomialApproximation(func, 5) sum10 = PolynomialApproximation(func, 10) sum15 = func.series(x, 0, 16).removeO() # 使用 SymPy 内置系列展开 # 绘制范围设置 xvals = np.linspace(-1, 4, 500) # 存储对应点的数据 original_points = [] sum_5_points = [] sum_10_points = [] sum_15_points = [] for xval in xvals: original_points.append(func.subs({x: xval}).evalf()) sum_5_points.append(sum5.subs({x: xval}).evalf()) sum_10_points.append(sum10.subs({x: xval}).evalf()) sum_15_points.append(sum15.subs({x: xval}).evalf()) # 转换为 NumPy 数组以便绘图 original_points = np.array(original_points) sum_5_points = np.array(sum_5_points) sum_10_points = np.array(sum_10_points) sum_15_points = np.array(sum_15_points) # 数据可视化部分 plt.figure(figsize=(10, 7)) plt.plot(xvals, original_points, 'k-', linewidth=2, label='原函数') plt.plot(xvals, sum_5_points, 'r--', marker='o', markevery=50, label='5项泰勒展开式') plt.plot(xvals, sum_10_points, 'g-.', marker='d', markevery=50, label='10项泰勒展开式') plt.plot(xvals, sum_15_points, 'b:', marker='*', markevery=50, label='15项泰勒展开式') # 添加标题及坐标轴标注等信息 plt.title("泰勒展开式逼近效果展示") plt.xlabel("x值", fontsize=14) plt.ylabel("y值", fontsize=14) plt.grid(True) plt.legend(fontsize=12) # 显示图像 plt.show() ``` ### 输出解释 上述代码通过 `PolynomialApproximation` 函数实现了手动构建泰勒展开的功能，并结合了 SymPy 自带的高阶展开能力（如 `series()`）。最后使用 Matplotlib 对比展示了原始函数及其对应的低次近似与较高次数的拟合情况。 --- ####