### 龙贝格积分法的 Python 实现 龙贝格积分法是一种基于梯形法则并通过外推加速收敛的方法，用于数值计算定积分。下面提供了一个不依赖 NumPy 库的 Python 程序实现，允许用户输入被积函数以及定义积分区间和精度要求。 #### 用户自定义函数解析 为了使程序支持用户动态输入任意形式的数学表达式作为被积函数，这里采用内置模块 `sympy` 中的功能来完成字符串到可执行匿名函数的转换过程[^1]。注意此方法虽然方便但也存在一定安全隐患，请仅限于受控环境下运行未知来源代码片段。 ```python from sympy import * import math def str_to_func(expr_str): """ Convert string representation of mathematical expression into callable function """ x = symbols('x') expr = simplify(expr_str) # Simplify the given symbolic expression. func = lambdify(x, expr, modules=['math']) # Use math module instead of numpy for basic operations. return func ``` #### 主体算法设计 按照经典龙贝格表构建思路逐步细化分割点数直至满足误差阈值条件停止迭代。具体步骤如下所示： 1. 初始化变量存储当前层与下一层近似结果； 2. 循环更新每一级Trapezoidal Rule估值直到达到预设精确度； 3. 输出最终估计值及其绝对误差范围。 ```python def romberg_integration(f, a, b, tol=1e-8): """ Perform Romberg integration on f from a to b with tolerance level specified by tol.""" R = [[0]* (i+1) for i in range(16)] # Preallocate space up-to maximum recursion depth limit. h = float(b-a) R[0][0]=(h/2)*(f(a)+f(b)) n=1 while True: h /=2 sum_f=0 for k in range(1,n+1): sum_f += f(a+(k-.5)*h) R[n][0]= .5*R[n-1][0]+sum_f*h m=1 while(m<=n): R[n][m]=R[n][m-1]+(R[n][m-1]-R[n-1][m-1])/((4**m)-1) m+=1 if abs(R[n][n-1]-R[n][n])<tol*abs(R[n][n]): break; n+=1 return R[n][n], abs(R[n][n-1]-R[n][n]) ``` #### 整合交互界面 最后封装成易于使用的命令行工具供使用者便捷调用: ```python if __name__ == "__main__": expr_input=input("Please enter your integrand as an algebraic formula involving variable 'x': ") lower_bound=float(input("Enter lower bound of interval: ")) upper_bound=float(input("Enter upper bound of interval: ")) error_tolerance=float(input("Specify desired relative accuracy (optional; default is machine epsilon): ") or "sys.float_info.epsilon") target_function=str_to_func(expr_input) approx_value,error_estimation=romberg_integration(target_function ,lower_bound ,upper_bound ,error_tolerance ) print(f"The approximate definite integral value using Romberg's method is {approx_value} ±{error_estimation}.") ``` ---