在 Python 中求解曲线 \( f(x) \) 的极值点（即满足 \( f'(x_i) = 0 \) 的位置），可以通过以下几个步骤实现： ### 步骤 1: 定义目标函数及其导数 首先，你需要有一个具体的数学函数 \( f(x) \)，并对其求导得到 \( f'(x) \)。如果函数比较复杂，可以直接使用 SymPy 库来进行符号化微分。 ```python from sympy import symbols, diff # 定义变量 x 和函数 f(x) x = symbols('x') f = a*x**4 + b*x**3 + c*x**2 + d*x + e # 替换a,b,c,d,e为你想要的具体数值或保持它们作为参数 # 求导得到 f'(x) f_prime = diff(f, x) print("The derivative of the function is:", f_prime) ``` ### 步骤 2: 解方程 \( f'(x) = 0 \) 接下来解决这个方程即可找出所有的潜在极值点的位置。 ```python from sympy.solvers import solve extreme_points = solve(f_prime, x) print("Potential extreme points at positions:", [point.evalf() for point in extreme_points]) ``` 以上两步会帮助你获取到所有可能成为极小值或者极大值的候选点\(x_i\)。 --- ### 进一步验证每个点是否真的构成极值 为了确认哪些是真正的极值以及区分他们是极大还是极小值，可以检查二阶导数 \( f''(x)\): 1. 如果对于某个 \(x_i\),有 \(f''(x_i)>0\) 那么这里就是局部最小值; 2. 否则若 \(f''(x_i)<0\) 则表示这是局部最大值; ```python second_derivative_test_values = [(ep, second_derivative.subs({x: ep}).evalf()) for ep in extreme_points] for point, value in second_derivative_test_values: if value > 0: print("{} 是一个局部最低点".format(point)) elif value < 0: print("{} 是一个局部最高点".format(point)) else: print("{} 可能是一个拐点或其他特殊情况.".format(point)) ``` #### 示例完整脚本： 将上述内容整合在一起形成完整的例子如下所示: ```python import numpy as np from sympy import * init_printing() def find_extrema(a=-5.,b=6.,c=8.,d=-9.,e=7): x = symbols('x') func = a * x**4 + b * x**3 + c * x**2 + d * x + e first_derivative = diff(func,x) critical_points = solveset(first_derivative,x,S.Reals) second_derivative = diff(first_derivative,x) results = [] for cp in list(critical_points): sgn_of_2nd = sign(second_derivative.subs(x,cp).n()) nature = "Minima" if (sgn_of_2nd>0) else ("Maxima" if(sgn_of_2nd<0)else "?") results.append((cp,float(nature))) return sorted(results,key=lambda z:z[0]) if __name__ == '__main__': res=find_extrema() for r in res: print(r) ``` 上面代码能够输出各个临界点及性质信息了！