python实现最小二乘拟和曲线y=sin2πx，多项式阶次分别为1,3,9

### 使用Python实现最小二乘法拟合 `sin(2πx)` 曲线为了展示不同阶次多项式的拟合效果，下面将通过 Python 实现最小二乘法来拟合一组由 `sin(2πx)` 函数生成的数据点。此方法会分别采用 1 阶、3 阶和 9 阶多项式进行拟合，并绘制相应的曲线图。 #### 导入必要的库 ```python import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures from sklearn.linear_model import LinearRegression ``` #### 定义数据集与模型训练函数定义一个辅助函数用于创建指定次数的多项式特征并训练回归模型： ```python def fit_polynomial(x_train, y_train, degree): poly_features = PolynomialFeatures(degree=degree, include_bias=False) x_poly = poly_features.fit_transform(x_train.reshape(-1, 1)) model = LinearRegression() model.fit(x_poly, y_train) return model, poly_features ``` #### 数据准备设定输入变量范围 `[0, 1]` 并计算对应的正弦波输出值作为目标标签；同时引入一些随机噪声使样本更贴近实际情况： ```python np.random.seed(42) # 设置随机种子以便结果可重复 N_SAMPLES = 50 # 样本数量 NOISE_LEVEL = 0.1 # 添加到y上的高斯白噪声音量大小 X = np.linspace(0, 1, N_SAMPLES).reshape(-1, 1) Y_true = np.sin(2 * np.pi * X).flatten() Y_noisy = Y_true + NOISE_LEVEL * np.random.randn(N_SAMPLES) ``` #### 绘制原始数据及各阶数下的拟合曲线依次构建三个子图表显示不同程度下多项式的逼近情况： ```python plt.figure(figsize=(18, 6)) for i, deg in enumerate([1, 3, 9], start=1): ax = plt.subplot(1, 3, i) # 训练模型 model, _ = fit_polynomial(X, Y_noisy, deg) # 创建平滑分布的新测试点以获得更好的可视化效果 test_x = np.linspace(min(X), max(X), num=100).reshape(-1, 1) pred_y = model.predict(PolynomialFeatures(deg, include_bias=False).fit_transform(test_x)) # 可视化 plt.scatter(X.flatten(), Y_noisy, color='blue', label="Noisy Data", alpha=.7) plt.plot(test_x, pred_y, 'r-', lw=2, label=f'Fitted {deg}-Degree Poly') plt.title(f'{deg} Degree Polynomial Fit') plt.legend() plt.tight_layout() plt.show() ``` 上述代码片段展示了如何利用 Scikit-Learn 库中的 `PolynomialFeatures` 和 `LinearRegression` 类快速完成多阶多项式的最小二乘拟合操作[^1]。随着多项式阶数增加，可以看到模型逐渐变得更加复杂，在极端情况下可能会发生过拟合现象。

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