### 使用Python实现最小二乘法拟合 `sin(2πx)` 曲线 为了展示不同阶次多项式的拟合效果，下面将通过 Python 实现最小二乘法来拟合一组由 `sin(2πx)` 函数生成的数据点。此方法会分别采用 1 阶、3 阶和 9 阶多项式进行拟合，并绘制相应的曲线图。 #### 导入必要的库 ```python import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures from sklearn.linear_model import LinearRegression ``` #### 定义数据集与模型训练函数 定义一个辅助函数用于创建指定次数的多项式特征并训练回归模型： ```python def fit_polynomial(x_train, y_train, degree): poly_features = PolynomialFeatures(degree=degree, include_bias=False) x_poly = poly_features.fit_transform(x_train.reshape(-1, 1)) model = LinearRegression() model.fit(x_poly, y_train) return model, poly_features ``` #### 数据准备 设定输入变量范围 `[0, 1]` 并计算对应的正弦波输出值作为目标标签；同时引入一些随机噪声使样本更贴近实际情况： ```python np.random.seed(42) # 设置随机种子以便结果可重复 N_SAMPLES = 50 # 样本数量 NOISE_LEVEL = 0.1 # 添加到y上的高斯白噪声音量大小 X = np.linspace(0, 1, N_SAMPLES).reshape(-1, 1) Y_true = np.sin(2 * np.pi * X).flatten() Y_noisy = Y_true + NOISE_LEVEL * np.random.randn(N_SAMPLES) ``` #### 绘制原始数据及各阶数下的拟合曲线 依次构建三个子图表显示不同程度下多项式的逼近情况： ```python plt.figure(figsize=(18, 6)) for i, deg in enumerate([1, 3, 9], start=1): ax = plt.subplot(1, 3, i) # 训练模型 model, _ = fit_polynomial(X, Y_noisy, deg) # 创建平滑分布的新测试点以获得更好的可视化效果 test_x = np.linspace(min(X), max(X), num=100).reshape(-1, 1) pred_y = model.predict(PolynomialFeatures(deg, include_bias=False).fit_transform(test_x)) # 可视化 plt.scatter(X.flatten(), Y_noisy, color='blue', label="Noisy Data", alpha=.7) plt.plot(test_x, pred_y, 'r-', lw=2, label=f'Fitted {deg}-Degree Poly') plt.title(f'{deg} Degree Polynomial Fit') plt.legend() plt.tight_layout() plt.show() ``` 上述代码片段展示了如何利用 Scikit-Learn 库中的 `PolynomialFeatures` 和 `LinearRegression` 类快速完成多阶多项式的最小二乘拟合操作[^1]。随着多项式阶数增加，可以看到模型逐渐变得更加复杂，在极端情况下可能会发生过拟合现象。