以下是使用 Python 实现 DPLL 算法的一个示例代码，能够解决布尔可满足性问题 (SAT)，输入为 CNF 形式的布尔表达式。 ### 使用 Python 实现 DPLL 算法 #### 1. 定义辅助函数 `unit_propagation` `unit_propagation` 函数的作用是对公式的单元子句进行传播处理。如果某个子句仅剩下一个未被赋值的变量，则可以立即对该变量进行赋值[^5]。 ```python def unit_propagation(formula, model): changed = True while changed: changed = False new_formula = [] units = [] # 找到所有的单元子句并移除它们 for clause in formula: if len(clause) == 1 and -clause[0] not in model: units.append(clause[0]) if units: changed = True for unit in units: model[unit] = True model[-unit] = False # 更新公式：删除包含已赋值为真的子句，并从中移除已被赋值为假的字面量 for clause in formula: updated_clause = [lit for lit in clause if -lit not in model or not model[-lit]] if len(updated_clause) == 0: # 如果存在空子句则不可满足 return None elif any(lit in model and model[lit] for lit in updated_clause): # 子句已经被满足 continue else: new_formula.append(updated_clause) formula = new_formula return formula ``` --- #### 2. 定义核心递归函数 `dpll` `dpll` 是整个算法的核心部分，采用递归方式不断尝试不同的变量赋值组合直到找到解决方案或证明无解[^1]。 ```python def dpll(formula, model): simplified_formula = unit_propagation(formula[:], model.copy()) # 对当前公式应用单元传播 if simplified_formula is None: # 若出现冲突（即有空子句），返回失败 return None if len(simplified_formula) == 0: # 若所有子句都被满足，则成功 return model # 选择一个尚未分配的变量进行分支试探 literal = choose_variable(simplified_formula) # 尝试将此变量设为真 model[literal] = True result = dpll(simplified_formula, model.copy()) if result is not None: return result # 否则尝试将其设为假 del model[literal] model[-literal] = True return dpll(simplified_formula, model.copy()) ``` --- #### 3. 定义启发式函数 `choose_variable` 为了提高效率，可以选择一种策略来决定先测试哪个变量。这里我们简单选取第一个遇到的未赋值变量作为候选对象。 ```python def choose_variable(formula): for clause in formula: for literal in clause: return literal ``` --- #### 4. 主入口函数 最后定义一个方便使用的接口函数，接受原始 CNF 表达式以及初始状态为空的模型表。 ```python def solve_cnf(cnf_formula): initial_model = {} solution = dpll(cnf_formula, initial_model) if solution is None: print("The given CNF formula is unsatisfiable.") else: print("A satisfying assignment:", {k: 'True' if v else 'False' for k, v in solution.items() if k > 0}) return solution ``` --- #### 测试样例 下面给出一段简单的测试代码： ```python if __name__ == "__main__": cnf_example = [[1, -2], [-1, 2], [2, 3]] # 输入的CNF公式 solve_cnf(cnf_example) ``` 运行上述脚本将会打印出一组使给定 CNF 公式成立的变量子集及其真假值映射关系；如果没有这样的集合存在，则会报告该实例无法被满足。 --- ### 注意事项 当实际部署时需注意以下几点： - **输入格式**：确保传入的是标准的 CNF 列表形式。 - **性能优化**：针对较大规模的问题考虑加入更复杂的启发式方法改进 `choose_variable` 和其他组件的表现效果[^4]。 - **资源管理**：由于涉及深层次嵌套调用链路可能导致栈溢出风险，在极端情况下应适当调整系统参数限制最大允许深度范围。 ---