### Python 中使用多项式函数对数据进行拟合 #### 使用 `numpy.polyfit` 进行多项式拟合 对于简单的多项式拟合，可以利用 NumPy 库中的 `polyfit()` 函数来完成。此方法适用于线性和非线性的低阶多项式模型。 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 给定的数据点 x = np.arange(1, 16, 1) y = np.array([4.00, 5.20, 5.900, 6.80, 7.34, 8.57, 9.86, 10.12, 12.56, 14.32, 15.42, 16.50, 18.92, 19.58, 20.00]) # 设定多项式的次数为 n (这里设为3表示三次多项式) n = 3 coefficients = np.polyfit(x, y, deg=n) print(f'多项式系数: {coefficients}') # 构建预测值 polynomial_model = np.polyval(coefficients, x) plt.scatter(x, y, label='原始数据') plt.plot(x, polynomial_model, color='red', label=f'{n}次多项式拟合') plt.legend() plt.show() ``` 该代码片段展示了如何通过指定多项式的阶数来进行拟合，并绘制出实际观测值与拟合后的曲线图[^3]。 #### 利用 Scipy 的 `curve_fit` 实现自定义函数的拟合 当面对更加复杂的函数形式时，比如指数衰减或其他类型的非线性关系，则推荐使用 SciPy 提供的 `optimize.curve_fit()` 来处理更为广泛的函数表达式。 假设要拟合一组形如 \(a \cdot e^{b / t}\) 形式的实验数据： ```python from scipy.optimize import curve_fit def exponential_decay(t, a, b): """ 定义待拟合的目标函数 """ return a * np.exp(b / t) initial_guesses = [1., -1.] # 参数初值猜测 bounds = ([0., -np.inf], [+np.inf, 0]) # 设置参数边界条件 params, covariance_matrix = curve_fit(exponential_decay, x, y, p0=initial_guesses, bounds=bounds) print(f'最佳拟合参数: a={params[0]}, b={params[1]}') fitted_values = exponential_decay(x, params[0], params[1]) plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.scatter(x, y, c="blue", marker="o", s=50, alpha=.7, label="测量数据") plt.plot(x, fitted_values, 'r-', lw=2, label="拟合曲线") plt.xlabel('X轴标签') plt.ylabel('Y轴标签') plt.title('Exponential Decay Fit Example') plt.grid(True) plt.legend(loc='best') plt.tight_layout() plt.show() ``` 这段程序说明了怎样构建一个具体的数学模型并应用到具体案例中去求解未知参数的过程[^1].