### 1. 线性方程组求解 线性方程组可以使用`numpy`库中的`linalg.solve`函数来求解。以下是一个简单的示例： ```python import numpy as np # 定义系数矩阵 A 和常数向量 b A = np.array([[3, 1], [1, 2]]) b = np.array([9, 8]) # 求解线性方程组 Ax = b x = np.linalg.solve(A, b) print("线性方程组的解：", x) ``` ### 2. 材料单价计算及合理性验证 假设有一些材料的总价和数量信息，通过线性方程组求解材料单价，并验证结果的合理性。 ```python import numpy as np # 数量矩阵 quantity = np.array([[2, 3], [4, 1]]) # 总价向量 total_price = np.array([20, 18]) # 求解单价 unit_price = np.linalg.solve(quantity, total_price) print("材料单价：", unit_price) # 合理性验证：检查单价是否为正数 if all(unit_price > 0): print("单价合理") else: print("单价存在不合理情况") ``` ### 3. 利用 SVD 为用户推荐电影 使用`numpy`的`linalg.svd`函数进行奇异值分解，为用户推荐电影。以下是一个简化的示例： ```python import numpy as np # 用户 - 电影评分矩阵 ratings = np.array([[5, 3, 0, 1], [4, 0, 0, 1], [1, 1, 0, 5], [1, 0, 0, 4], [0, 1, 5, 4]]) # 奇异值分解 U, S, Vt = np.linalg.svd(ratings) # 取前 k 个奇异值 k = 2 S_k = np.diag(S[:k]) U_k = U[:, :k] Vt_k = Vt[:k, :] # 重构评分矩阵 reconstructed_ratings = U_k @ S_k @ Vt_k # 为用户 0 推荐电影 user_index = 0 unrated_movies = np.where(ratings[user_index] == 0)[0] recommended_movies = unrated_movies[np.argsort(reconstructed_ratings[user_index][unrated_movies])[::-1]] print("为用户 0 推荐的电影：", recommended_movies) ``` ### 4. 用 SVD 实现 PCA 对 MNIST 数据降维 使用`sklearn`库加载 MNIST 数据，并使用 SVD 实现 PCA 降维。 ```python from sklearn.datasets import fetch_openml from sklearn.decomposition import PCA import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # 加载 MNIST 数据 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1) X = mnist.data y = mnist.target # 使用 SVD 实现 PCA 降维 pca = PCA(n_components=2) X_pca = pca.fit_transform(X) # 可视化降维后的数据 plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], c=y.astype(int), cmap='viridis') plt.colorbar() plt.title('PCA on MNIST Data') plt.xlabel('Principal Component 1') plt.ylabel('Principal Component 2') plt.show() ``` ### 实验报告 #### 实验过程描述 本次实验主要围绕线性方程组求解、奇异值分解（SVD）的应用展开。首先，使用`numpy`库求解线性方程组，得到未知量的解。接着，利用线性方程组求解材料单价，并对结果进行合理性验证。然后，使用 SVD 对用户 - 电影评分矩阵进行分解，为用户推荐未评分的电影。最后，使用 SVD 实现 PCA 对 MNIST 数据进行降维，并可视化降维后的结果。 #### 操作步骤或程序清单 上述代码分别展示了线性方程组求解、材料单价计算与验证、SVD 电影推荐、SVD 实现 PCA 对 MNIST 数据降维的具体实现步骤。 #### 实验结果展示 - 线性方程组求解：输出线性方程组的解。 - 材料单价计算与验证：输出材料单价，并判断单价是否合理。 - SVD 电影推荐：输出为指定用户推荐的电影编号。 - SVD 实现 PCA 对 MNIST 数据降维：展示降维后数据的可视化结果。 #### 疑难小结 - 在使用`numpy`的`linalg.solve`函数求解线性方程组时，需要确保系数矩阵是可逆的，否则会抛出异常。 - 在进行 SVD 分解时，需要根据具体需求选择合适的奇异值个数`k`，以平衡计算复杂度和数据重构的精度。 - 在处理 MNIST 数据时，由于数据量较大，降维过程可能会比较耗时。