### 基于位置、速度、减速度和减减速度的柔顺停止规划算法 要实现一个基于当前位置、速度、加速度（即减速度）、以及加加速度（即减减速度）的柔顺停止规划算法，可以采用多项式轨迹规划方法。这种方法通常利用五次多项式函数来描述运动曲线，从而满足初始条件和终止条件的要求。 以下是具体的 Python 实现： #### 轨迹规划原理 假设目标是从起始状态 \( (p_0, v_0, a_0) \) 平滑过渡到最终静止状态 \( (p_f, 0, 0) \)，其中： - \( p_0 \) 和 \( p_f \) 是起点和终点的位置； - \( v_0 \) 是初速度； - \( a_0 \) 是初加速度； 可以通过求解五次多项式方程组得到平滑的位移随时间变化的关系[^1]。 设轨迹为： \[ s(t) = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 + c_3 t^3 + c_4 t^4 + c_5 t^5 \] 边界条件如下： 1. 初始时刻：\( s(0) = p_0 \), \( \dot{s}(0) = v_0 \), \( \ddot{s}(0) = a_0 \); 2. 终止时刻：\( s(T) = p_f \), \( \dot{s}(T) = 0 \), \( \ddot{s}(T) = 0 \); 通过上述六个条件可唯一确定系数 \( c_0, c_1, ..., c_5 \)。 #### Python 实现代码 以下是一个完整的 Python 示例代码，演示如何生成柔顺停止的减速轨迹： ```python import numpy as np def quintic_polynomial_planner(p0, pf, v0=0, vf=0, a0=0, af=0, T=1.0): """ 使用五次多项式进行轨迹规划 参数: p0: 初位置 pf: 终位置 v0: 初速度，默认为0 vf: 终速度，默认为0 a0: 初加速度，默认为0 af: 终加速度，默认为0 T: 总时间间隔 返回: coefficients: 多项式的系数列表 [c0, c1, c2, c3, c4, c5] """ A = np.array([ [0, 0, 0, 0, 0, 1], [T**5, T**4, T**3, T**2, T, 1], [0, 0, 0, 0, 1, 0], [5*T**4, 4*T**3, 3*T**2, 2*T, 1, 0], [0, 0, 0, 2, 0, 0], [20*T**3, 12*T**2, 6*T, 2, 0, 0] ]) b = np.array([p0, pf, v0, vf, a0, af]) coefficients = np.linalg.solve(A, b) return coefficients[::-1] # 反转顺序以匹配np.polyval的需求 def compute_trajectory(coefficients, t_values): """ 计算给定时间内对应的空间坐标 参数: coefficients: 多项式系数数组 t_values: 时间序列向量 返回: positions: 对应的时间点上的位置值 """ positions = np.polyval(coefficients, t_values) velocities = np.polyval(np.polyder(coefficients), t_values) accelerations = np.polyval(np.polyder(coefficients, m=2), t_values) jerks = np.polyval(np.polyder(coefficients, m=3), t_values) return positions, velocities, accelerations, jerks # 示例参数设置 p0 = 0.0 # 初始位置 pf = 10.0 # 目标位置 v0 = 5.0 # 初始速度 vf = 0.0 # 最终速度 a0 = -2.0 # 初始加速度 af = 0.0 # 最终加速度 T = 2.0 # 整个过程持续时间为2秒 coefficients = quintic_polynomial_planner(p0, pf, v0=v0, vf=vf, a0=a0, af=af, T=T) t_values = np.linspace(0, T, num=100) # 创建时间序列 positions, velocities, accelerations, jerks = compute_trajectory(coefficients, t_values) print("Positions:", positions[:10]) # 打印前几个位置样本 print("Velocities:", velocities[:10]) # 打印前几个速度样本 print("Accelerations:", accelerations[:10]) # 打印前几个加速度样本 print("Jerks:", jerks[:10]) # 打印前几个加加速度样本 ``` 此代码片段定义了 `quintic_polynomial_planner` 函数用于计算五次多项式的系数，并提供了辅助函数 `compute_trajectory` 来获取任意时间点的状态数据。 --- ### 结果分析 运行以上程序后会获得一系列离散化的轨迹点及其对应的导数值（速度、加速度、加加速度）。这些结果可用于验证系统的平稳性并进一步应用于实际硬件控制中。 ---