### 使用 NumPy 计算多项式的值及其导数 #### 1. 多项式定义与初始化 根据提供的多项式 $ f(x) = x + 2x^2 + 1 $，可以将其系数按降幂顺序存储在一维数组中。NumPy 提供了 `np.poly1d` 方法来创建多项式对象[^3]。 对于 $ f(x) = x + 2x^2 + 1 $，其系数为 `[2, 1, 1]`，其中： - 第一项 `2` 表示 $ x^2 $ 的系数， - 第二项 `1` 表示 $ x^1 $ 的系数， - 第三项 `1` 表示常数项。 ```python import numpy as np # 初始化多项式 f(x) = 2x^2 + x + 1 coefficients = [2, 1, 1] polynomial = np.poly1d(coefficients) print("多项式表达式:", polynomial) ``` --- #### 2. 计算多项式的值 利用 `polynomial` 对象可以直接计算指定点处的多项式值。例如，在 $ x=2 $ 和 $ x=5 $ 下分别计算： ```python # 计算 f(2) 和 f(5) value_at_2 = polynomial(2) value_at_5 = polynomial(5) print(f"f(2) = {value_at_2}") # 输出 f(2) 的值 print(f"f(5) = {value_at_5}") # 输出 f(5) 的值 ``` 执行结果为： ``` f(2) = 11 f(5) = 56 ``` --- #### 3. 求一阶导数 使用 `derivative()` 方法可获取多项式的一阶导数。对于 $ f(x) = 2x^2 + x + 1 $，其一阶导数为 $ f'(x) = 4x + 1 $[^3]。 ```python # 获取一阶导数 first_derivative = polynomial.deriv(1) print("一阶导数表达式:", first_derivative) # 计算一阶导数在 x=2 和 x=5 的值 first_derivative_value_at_2 = first_derivative(2) first_derivative_value_at_5 = first_derivative(5) print(f"f'(2) = {first_derivative_value_at_2}") # 输出 f'(2) 的值 print(f"f'(5) = {first_derivative_value_at_5}") # 输出 f'(5) 的值 ``` 执行结果为： ``` f'(2) = 9 f'(5) = 21 ``` --- #### 4. 求二阶导数 继续使用 `deriv()` 方法求取二阶导数。对于 $ f(x) = 2x^2 + x + 1 $，其二阶导数为 $ f''(x) = 4 $[^3]。 ```python # 获取二阶导数 second_derivative = polynomial.deriv(2) print("二阶导数表达式:", second_derivative) # 计算二阶导数在任意点的值（因为是常数） second_derivative_value_anywhere = second_derivative(0) print(f"f''(any point) = {second_derivative_value_anywhere}") # 输出 f'' 的值 ``` 执行结果为： ``` f''(any point) = 4 ``` --- #### 5. 总结代码 完整的代码如下所示： ```python import numpy as np # 初始化多项式 f(x) = 2x^2 + x + 1 coefficients = [2, 1, 1] polynomial = np.poly1d(coefficients) print("多项式表达式:", polynomial) # 计算 f(2) 和 f(5) value_at_2 = polynomial(2) value_at_5 = polynomial(5) print(f"f(2) = {value_at_2}, f(5) = {value_at_5}") # 获取一阶导数 first_derivative = polynomial.deriv(1) print("一阶导数表达式:", first_derivative) first_derivative_value_at_2 = first_derivative(2) first_derivative_value_at_5 = first_derivative(5) print(f"f'(2) = {first_derivative_value_at_2}, f'(5) = {first_derivative_value_at_5}") # 获取二阶导数 second_derivative = polynomial.deriv(2) print("二阶导数表达式:", second_derivative) second_derivative_value_anywhere = second_derivative(0) print(f"f''(any point) = {second_derivative_value_anywhere}") ``` --- ###