### **Python实现CIR模型示例** #### **1. 模型参数设定** 我们首先定义CIR模型的参数并进行数值模拟： ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # CIR模型参数 alpha = 0.2 # 回归速度 mu = 0.05 # 长期均值 (5%) sigma = 0.1 # 波动率 r0 = 0.03 # 初始利率 (3%) T = 10 # 时间期限 (年) steps = 1000 # 时间步数 dt = T / steps # 时间增量 ``` #### **2. 数值模拟（欧拉离散化）** 使用欧拉方法离散化CIR模型： ```python np.random.seed(42) # 固定随机种子 # 初始化数组 r = np.zeros(steps) r[0] = r0 # 模拟路径 for t in range(1, steps): dW = np.random.normal(0, np.sqrt(dt)) # 布朗运动增量 drift = alpha * (mu - r[t-1]) * dt # 均值回归项 diffusion = sigma * np.sqrt(r[t-1]) * dW # 随机波动项 r[t] = r[t-1] + drift + diffusion r[t] = max(r[t], 0) # 强制非负性 ``` #### **3. 可视化结果** 绘制模拟的利率路径： ```python plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(np.linspace(0, T, steps), r, label="CIR Simulated Path") plt.axhline(mu, color='red', linestyle='--', label="Long-term Mean (μ)") plt.title("CIR Model Simulation (α={}, μ={}, σ={})".format(alpha, mu, sigma)) plt.xlabel("Time (Years)") plt.ylabel("Interest Rate") plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` #### **4. 关键输出说明** - **均值回归**：模拟路径围绕红色虚线（μ=5%）波动。 - **非负性**：利率始终≥0（即使因波动项接近零时）。 - **波动聚集**：高利率时段波动更大（因σ√rₜ的作用）。 --- ### **案例扩展：债券定价** 假设基于CIR模型计算零息债券价格： ```python def cir_bond_price(t, T, r_t, alpha, mu, sigma): """CIR模型下的零息债券价格公式""" gamma = np.sqrt(alpha**2 + 2*sigma**2) B = (2*(np.exp(gamma*(T-t)) - 1)) / ((gamma + alpha)*(np.exp(gamma*(T-t)) - 1) + 2*gamma) A = ((2*gamma*np.exp((alpha + gamma)*(T-t)/2)) / ((gamma + alpha)*(np.exp(gamma*(T-t)) - 1) + 2*gamma)) ** (2*alpha*mu/sigma**2) return A * np.exp(-B * r_t) # 计算不同期限的债券价格 maturities = np.linspace(0.1, 10, 50) prices = [cir_bond_price(0, T, r0, alpha, mu, sigma) for T in maturities] # 绘制价格曲线 plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(maturities, prices) plt.title("Zero-Coupon Bond Prices under CIR Model") plt.xlabel("Maturity (Years)") plt.ylabel("Price") plt.grid(True) plt.show() ``` --- ### **实际应用注意事项** 1. **参数校准**： 需用历史数据估计α、μ、σ（如MLE或矩匹配）。 2. **负利率扩展**： 若需处理负利率，改用Shifted CIR模型： ```python r_shifted = r + shift # 平移利率区间 ``` 3. **蒙特卡洛改进**： 欧拉离散化可能低估极端波动，可采用Milstein方法增强精度。 ---