计算积分2 × ∫(1 / (1 + x^2)) 从 -1 到 1，求π的近似值，其中积分不能调用函数，自己写过程，尽可能精度度高，Python

我们可以手动编写代码来计算给定积分 \( 2 \times \int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx \)，该积分为圆周率 π 的一部分。这里我们采用 **辛普森法则 (Simpson's Rule)** 来数值逼近这个定积分。 ### 辛普森法则简介辛普森法则是用于数值积分的一种方法，它基于二次多项式插值原理。对于区间 [a, b] 上的函数 f(x)，若将其分成 n 份，则有： \[ \int_a^b f(x)\ dx \approx \frac{\Delta x}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)] \] 其中 Δx=(b-a)/n，并且点 xi 均匀分布在[a,b]之间。以下是 Python 实现： ```python def simpsons_rule(a, b, n): def integrand(x): # 被积函数 1/(1+x^2) return 1 / (1 + x**2) h = (b - a) / n # 步长 h integral_sum = integrand(a) + integrand(b) # 初始化两端点贡献 for i in range(1, n): x_i = a + i*h # 当前节点位置 if i % 2 == 0: # 若索引i为偶数 integral_sum += 2 * integrand(x_i) else: # 否则奇数倍权重因子 integral_sum += 4 * integrand(x_i) return (h / 3) * integral_sum # 参数设置：积分范围 [-1, 1], 分割份数 n=大一些以获得更精确结果 n_steps = 1e5 # 提高分割步数可以获得更高精度 integral_result = simpsons_rule(-1, 1, int(n_steps)) pi_approximation = 2 * integral_result # 因题目要求最终乘以2得到π近似值 print("Approximated Pi Value:", pi_approximation) ``` 运行上述程序即可得出接近真实值的 π 近似结果。随着 `n_steps` 数量增大，所得出的答案越趋近于理论真值。

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