在三维空间中，描述两个不同的坐标系之间的旋转关系通常需要借助 **旋转矩阵** 或者 **欧拉角** 的表示形式。以下是关于如何求解两个不同三维坐标系下，由欧拉角所表达的矩阵关系的具体步骤： --- ### 背景知识 #### 1. 欧拉角 (Euler Angles) 欧拉角是一种用于表示三维空间中刚体定向的方式，它通过三个连续的基本旋转来构建最终的姿态。常见的欧拉角顺序有 ZYX、XYZ 等。 例如，在 ZYX 序列下： - 第一步绕 \(Z\)轴旋转\(\psi\)（偏航角）， - 第二步绕\(Y'\)新轴旋转\(\theta\)（俯仰角）， - 最后绕\(X''\)更新后的轴旋转\(\phi\)（滚转角）。 每个基本旋转变换都可以用一个对应的旋转矩阵表示。 #### 2. 基本旋转矩阵 对于单次旋转，其数学公式如下所示: - 绕 \(x-\text{axis}\): \[ R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ 0 & \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix}, \] - 绕 \(y-\text{axis}\): \[ R_y = \begin{bmatrix} \cos{\beta} & 0 & \sin{\beta} \\ 0 & 1 & 0\\ -\sin{\beta}& 0& \cos{\beta} \end{bmatrix}. \] - 绕 \(z-\text{axis}\): \[ R_z = \begin{bmatrix} \cos{\gamma} & -\sin{\gamma} & 0 \\ \sin{\gamma} & \cos{\gamma } & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.\] 将上述单独的旋转操作按指定序列相乘即可得到总的变换矩阵R_total. --- ### 具体过程 给定两组欧拉角度分别代表了从初始参考框架到各自局部框架的转换，则我们可以通过构造各自的总变换矩阵，并计算它们间的相对变化获取两者关联性。 设第一套坐标系统A下的欧拉角为 (\(a_1,a_2,a_3)\)，第二套B 下的是 (\(b_1,b_2,b_3\)) 。 首先依据上面提到的基础运算建立出他们相应的总体方向余弦阵即整体旋转矩阵 RA 和 RB ，那么AB 相对的方向余弦就等于RA^(-1)*RB或者等效地(T(RA))*RB （这里T 表示取转置因为正交方程里逆和转置是互为替代品）。最后这个复合结果便是连接两个独立体系的关键桥梁——过渡矩阵 M_AB= T(RA)*RB . 此过渡矩阵M_AB 描述的就是从原点出发经由 A 视角观察 B 所经历的所有转动信息压缩成单一紧凑形态展示出来供进一步解析运用。 --- ### Python 示例代码片段 ```python import numpy as np def euler_to_rotation_matrix(eulers, sequence='zyx'): # eulers: [roll(phi), pitch(theta), yaw(psi)] phi, theta, psi = eulers cx,cy,cz=np.cos([phi,theta,psi]) sx,sy,sz=np.sin([phi,theta,psi]) if sequence == 'zyx': Rx = [[1, 0, 0], [0, cz, -sz], [0, sz, cz]] Ry = [[cy, 0, sy], [0, 1, 0],[-sy ,0 , cy ]] Rz = [[cz ,-sz ,0],[sz ,cz ,0],[0 ,0 ,1]] return np.dot(np.dot(Rz,Ry),Rx) eulas_a=[np.pi /6,np.pi/4,-np.pi/3] eulas_b=[-np.pi/8 ,np.pi/5 ,np.pi ] Ra=euler_to_rotation_matrix(eulsar,'zyx') Rb=euler_to_rotatin_matrix(eulabs,'zyx') # Relative transformation matrix from frame A to B. relative_transformation=np.matmul(np.transpose(Ra),Rb ) print("Relative Transformation Matrix:\n", relative_transformtion) ``` ---