### 实现 GetPerspectiveTransform 功能 为了在 C# 中不依赖 OpenCV 来实现 `GetPerspectiveTransform` 方法，可以从数学原理出发构建透视变换矩阵。透视变换涉及到求解一个 3x3 的单应性矩阵 (Homography Matrix)，该矩阵能够将一组四个点映射到另一组对应的四个点。 #### 单应性矩阵计算方法 给定两组对应点集 \((x_1,y_1),...,(x_4,y_4)\) 和 \((X_1,Y_1),...,(X_4,Y_4)\)，通过线性方程组解决最小二乘法问题来获得 H 矩阵： \[H=\begin{bmatrix}h_{11}& h_{12}& h_{13}\\ h_{21}& h_{22}& h_{23}\\ h_{31}& h_{32}& h_{33}\end{bmatrix}\] 其中 \(h_{ij}\) 是未知数，而每一对匹配点提供两个约束条件（分别针对 X 轴和 Y 轴），最终形成八个独立的线性方程式[^1]。 对于每一个源坐标点与其相应的目标坐标点之间的关系可以用如下形式表示: \[ \left[\begin{array}{ccc} -x & -y & -1 \\ 0 & 0 & 0\\ u*x & u*y & u \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} -u*X \\ -u*Y \\ 0 \end{array}\right] \] 这里 \(u=1\) 或者其他非零常量不影响结果；\(a,b,c,d,e,f,g,h,i\) 表示上述提到的九个参数中的前三个或后六个之一。当有四对这样的点时就可以建立8个这样类型的方程并联立求解得到这9个变量的具体数值[^2]。 下面展示了一个基于此理论的手动编写版本，在纯 C# 下完成相似的功能而不借助任何第三方库： ```csharp public static double[,] CalculatePerspectiveTransform(PointF[] srcPts, PointF[] dstPts) { if (srcPts.Length != 4 || dstPts.Length != 4) throw new ArgumentException("Both point arrays must contain exactly four points."); var A = new DenseMatrix(8); var B = new DenseMatrix(8); for (int i = 0; i < 4; ++i) { int row = i * 2; float x = srcPts[i].X; float y = srcPts[i].Y; // Fill matrix A with coefficients from source coordinates and target coordinate's negated values. A[row, 0] = x; A[row, 1] = y; A[row, 2] = 1; A[row, 3] = 0; A[row, 4] = 0; A[row, 5] = 0; A[row, 6] = -dstPts[i].X * x; A[row, 7] = -dstPts[i].X * y; A[row + 1, 0] = 0; A[row + 1, 1] = 0; A[row + 1, 2] = 0; A[row + 1, 3] = x; A[row + 1, 4] = y; A[row + 1, 5] = 1; A[row + 1, 6] = -dstPts[i].Y * x; A[row + 1, 7] = -dstPts[i].Y * y; // Fill vector B with the destination coordinates' positive values. B[row, 0] = dstPts[i].X; B[row + 1, 0] = dstPts[i].Y; } // Solve Ax=B to find unknowns of homography matrix except last element which is always set as 1. var resultVector = A.Solve(B).ToArray(); return new[,] { {resultVector[0], resultVector[1], resultVector[2]}, {resultVector[3], resultVector[4], resultVector[5]}, {resultVector[6], resultVector[7], 1d } }; } ``` 这段代码利用了 MathNet.Numerics 这样的开源科学计算库来进行矩阵运算，从而简化了复杂度较高的代数处理过程[^3]。