汉明窗（Hamming Window）是数字信号处理中常用的一种窗函数，用于减少频谱泄漏。其数学定义为： $$ w(n) = 0.54 - 0.46 \cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right), \quad n = 0, 1, \dots, N-1 $$ 其中 $ N $ 是窗长（采样点数）。汉明窗的值域在 $[0.08, 1.0]$ 之间，两端平滑衰减至约 0.08（非零），具有良好的主瓣宽度与旁瓣抑制折中。 下面我们将用 Python（`numpy` + `matplotlib`）实现汉明窗的**可视化展示**，包括： - 窗函数时域波形（不同长度对比） - 与矩形窗（Rectangular window）的频谱对比（通过 FFT 观察旁瓣抑制效果） - 可选：叠加正弦信号加窗前后的频谱对比（直观体现“降泄漏”作用） --- ### ✅ 完整可运行代码（含详细注释） ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.fft import fft, fftfreq # 设置中文字体（可选，避免中文乱码） plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei', 'DejaVu Sans', 'Arial Unicode MS'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False def hamming_window(N): """生成长度为 N 的汉明窗（归一化形式，scipy.signal.hamming 默认）""" n = np.arange(N) return 0.54 - 0.46 * np.cos(2 * np.pi * n / (N - 1)) if N > 1 else np.array([1.0]) def rectangular_window(N): """矩形窗（即不加窗）""" return np.ones(N) # === 1. 时域对比：汉明窗 vs 矩形窗（N=64）=== N = 64 n = np.arange(N) win_ham = hamming_window(N) win_rect = rectangular_window(N) plt.figure(figsize=(12, 8)) # 子图1：时域波形 plt.subplot(2, 2, 1) plt.plot(n, win_rect, 'b-', label='矩形窗', linewidth=1.5) plt.plot(n, win_ham, 'r--', label='汉明窗', linewidth=2) plt.title('时域窗函数对比（N=64）') plt.xlabel('样本索引 n') plt.ylabel('幅度') plt.legend() plt.grid(True, alpha=0.3) # === 2. 频谱对比（零填充至1024点做高分辨率FFT）=== N_fft = 1024 win_ham_pad = np.pad(win_ham, (0, N_fft - N), mode='constant') win_rect_pad = np.pad(win_rect, (0, N_fft - N), mode='constant') # 计算幅度谱（取绝对值，归一化到最大值为0 dB） spec_ham = np.abs(fft(win_ham_pad)) spec_rect = np.abs(fft(win_rect_pad)) # 归一化并转为dB（避免 log(0)） eps = 1e-12 spec_ham_db = 20 * np.log10(spec_ham / spec_ham.max() + eps) spec_rect_db = 20 * np.log10(spec_rect / spec_rect.max() + eps) freqs = fftfreq(N_fft, d=1.0) # 归一化频率（单位：cycles/sample） freqs = np.fft.fftshift(freqs) # 移频至中心对称 spec_ham_db = np.fft.fftshift(spec_ham_db) spec_rect_db = np.fft.fftshift(spec_rect_db) plt.subplot(2, 2, 2) plt.plot(freqs, spec_rect_db, 'b-', label='矩形窗频谱', linewidth=1.2) plt.plot(freqs, spec_ham_db, 'r--', label='汉明窗频谱', linewidth=1.5) plt.title('频谱幅度（dB，零填充至1024点）') plt.xlabel('归一化频率 f（周期/样本）') plt.ylabel('幅度（dB）') plt.xlim(-0.5, 0.5) plt.ylim(-100, 5) plt.legend() plt.grid(True, alpha=0.3) # === 3. 不同长度汉明窗的时域形状（N=16, 32, 128）=== plt.subplot(2, 2, 3) Ns = [16, 32, 128] colors = ['tab:blue', 'tab:orange', 'tab:green'] for i, n_len in enumerate(Ns): w = hamming_window(n_len) plt.plot(np.arange(n_len), w, color=colors[i], label=f'N={n_len}', marker='o', markersize=2) plt.title('不同长度汉明窗（时域）') plt.xlabel('样本索引 n') plt.ylabel('幅度') plt.legend() plt.grid(True, alpha=0.3) # === 4. 加窗对单频信号频谱泄漏的抑制效果演示 === fs = 1000 # 采样率（Hz） T = 1.0 # 总时长（秒） t = np.linspace(0, T, fs, endpoint=False) f0 = 123.4 # 非整数周期频率（易产生泄漏） x = np.sin(2 * np.pi * f0 * t) # 原始正弦信号 # 不加窗 FFT X_rect = fft(x, n=2048) X_rect_db = 20 * np.log10(np.abs(X_rect) / np.max(np.abs(X_rect)) + eps) freq_axis = fftfreq(2048, 1/fs) # 加汉明窗后 FFT win = hamming_window(len(x)) x_ham = x * win X_ham = fft(x_ham, n=2048) X_ham_db = 20 * np.log10(np.abs(X_ham) / np.max(np.abs(X_ham)) + eps) plt.subplot(2, 2, 4) plt.plot(freq_axis, X_rect_db, 'b-', alpha=0.7, label='无窗（矩形）', linewidth=1.2) plt.plot(freq_axis, X_ham_db, 'r--', alpha=0.9, label='汉明窗', linewidth=1.5) plt.title(f'单频信号（f₀={f0}Hz）频谱对比\nT={T}s, fs={fs}Hz → 非整数周期') plt.xlabel('频率（Hz）') plt.ylabel('幅度（dB）') plt.xlim(100, 150) # 局部放大主瓣区域 plt.ylim(-80, 5) plt.legend() plt.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` --- ### 🔍 代码解释说明： 1. **`hamming_window(N)` 函数** 严格按定义实现标准汉明窗（非 scipy 内置，便于理解原理）。注意分母为 `N-1`（保证 cos 在 `[0, 2π]` 内完整变化）。 2. **时域图（左上）** 展示汉明窗两端平滑趋近于 `0.08`（≈ 0.54 − 0.46 = 0.08），而矩形窗恒为 1 —— 这种平滑过渡显著降低截断突变，从而抑制频谱泄漏。 3. **频谱图（右上）** - 横轴为归一化频率（−0.5 ~ 0.5 cycles/sample），纵轴为 dB。 - 汉明窗主瓣更宽（约 4/N 宽度），但**第一旁瓣约 −41 dB**，远低于矩形窗的 −13 dB，说明更强的旁瓣抑制能力。 4. **多长度对比（左下）** 验证汉明窗形状随长度缩放保持一致（仅采样密度变化），体现其标度不变性。 5. **实际信号加窗效果（右下）** 对 `123.4 Hz` 正弦波（在 `1s, 1000Hz` 采样下非整周期）做 FFT： - 无窗 → 能量扩散到多个频点（严重泄漏）； - 加汉明窗 → 能量集中于主瓣，旁瓣明显压低，频谱更“干净”。 > 💡 提示：实际工程中常使用 `scipy.signal.windows.hamming(N)` 或 `np.hamming(N)`，它们与本实现完全一致（仅数值精度差异）。 ---