### 如何在 PyTorch 中实现 R2 损失函数 R²（决定系数）是一个用于评估回归模型性能的指标，其取值范围通常为 (-∞, 1]。当 R² 越接近于 1 时，表示模型拟合得越好；而负值则表明模型表现不如简单的均值预测。 #### R² 的计算公式 给定真实值 \( y \) 和预测值 \( \hat{y} \)，R² 定义如下： \[ R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2} \] 其中： - \( n \): 数据样本数量； - \( y_i \): 真实目标值； - \( \hat{y}_i \): 预测目标值； - \( \bar{y} \): 真实目标值的平均值。 为了将其作为损失函数，在优化过程中我们希望最大化 R² 或者最小化 \( 1 - R^2 \)[^4]。 以下是基于上述公式的 PyTorch 实现： ```python import torch def r2_loss(y_true: torch.Tensor, y_pred: torch.Tensor) -> torch.Tensor: """ 计算 R² 损失函数 (1 - R²) :param y_true: 真实的目标张量，形状为 [batch_size, ...] :param y_pred: 预测的目标张量，形状为 [batch_size, ...] :return: 返回 R² 损失值 """ # 确保输入张量是一维的 if y_true.dim() > 1 or y_pred.dim() > 1: raise ValueError("Input tensors must be one-dimensional") # 计算残差平方和 SSR (Sum of Squared Residuals) ssr = torch.sum((y_true - y_pred)**2) # 计算总平方和 SSTO (Total Sum of Squares) mean_y_true = torch.mean(y_true) ssto = torch.sum((y_true - mean_y_true)**2) # 如果分母为零，则返回无穷大以避免除零错误 if ssto.item() == 0: return torch.tensor(float('inf')) # 计算 R² 并转换为损失形式 (1 - R²) r_squared = 1 - ssr / ssto loss = 1 - r_squared return loss ``` 此代码实现了 R² 损失函数的功能，并能够通过梯度下降算法对其进行优化[^5]。 #### 使用示例 下面展示了一个具体的例子来验证该函数的工作方式： ```python # 创建随机的真实值和预测值 torch.manual_seed(42) y_true = torch.randn(10) * 10 + 5 # 均值为5，标准差为10 y_pred = y_true + torch.randn(10) # 添加一些噪声 # 计算 R² 损失 loss_value = r2_loss(y_true, y_pred) print(f"R² Loss Value: {loss_value.item()}") # 输出结果 ``` 运行以上代码将会得到一个数值型的结果，代表当前预测相对于实际值的表现情况。 --- ### 注意事项 尽管可以将 \( 1 - R^2 \) 当作一种损失函数使用，但在某些情况下可能会遇到数值稳定性问题或者训练困难的情况。因此建议结合其他更常见的损失函数一起考虑，比如 MSE（均方误差），以便获得更好的收敛效果[^6]。