### 绘制指数分布的经验分布函数和理论分布函数 为了完成这一任务，可以按照以下方式操作： 1. **生成指数分布样本**：利用 `numpy` 中的 `np.random.exponential(scale, size)` 方法生成指定参数的指数分布随机数。其中，`scale` 是指数分布的尺度参数（即均值），可以通过公式 $ \text{scale} = 1/\lambda $ 转换得到。 2. **计算经验分布函数 (ECDF)**：通过对样本进行排序并计算累积概率来构建 ECDF。 3. **绘制理论分布函数 (CDF)**：使用指数分布的概率密度函数公式 $ F(x) = 1 - e^{-\lambda x} $ 来计算 CDF 值。 4. **绘图设置**：使用 Matplotlib 进行绘图，并通过不同的颜色和线型区分两条曲线。最后添加图例以便于对比[^1]。 以下是完整的 Python 实现代码： ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 设置参数 lambda 和样本数量 lam = 2 # 指数分布参数 λ size = 1000 # 样本大小 # 生成指数分布样本 data = np.random.exponential(scale=1/lam, size=size) # 计算经验分布函数 (ECDF) def ecdf(sample): sample_sorted = np.sort(sample) cdf_values = np.arange(1, len(sample)+1) / len(sample) return sample_sorted, cdf_values x_ecdf, y_ecdf = ecdf(data) # 理论分布函数 (CDF) 的 x 值范围 x_cdf = np.linspace(0, max(data), num=500) y_cdf = 1 - np.exp(-lam * x_cdf) # 绘制图像 plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(x_ecdf, y_ecdf, marker='.', linestyle='none', label='Empirical CDF', color='blue') plt.plot(x_cdf, y_cdf, label='Theoretical CDF', color='red', linestyle='-') # 添加标题和坐标轴标签 plt.title('Comparison of Empirical and Theoretical CDFs for Exponential Distribution') plt.xlabel('Value') plt.ylabel('Cumulative Probability') # 添加网格和图例 plt.grid(True) plt.legend() # 显示图像 plt.show() ``` 上述代码实现了如下功能： - 利用 `np.random.exponential()` 函数生成服从参数为 2 的指数分布样本。 - 自定义了一个辅助函数 `ecdf()` 来计算经验分布函数。 - 使用 NumPy 构建了理论分布函数的数据点集合。 - 最终借助 Matplotlib 将两者的曲线分别以不同颜色和风格呈现出来，并附带图例说明[^2]。 #### 注意事项 在实际应用过程中，如果需要进一步美化图表或者增加更多细节，则可考虑引入 Seaborn 库作为补充工具。尽管它本身提供了更高层次的封装接口，但在某些高级定制场景下仍需依赖底层的 Matplotlib 功能[^3]。