### Python 实现普朗特-迈耶角计算马赫数 以下是基于普朗特-迈耶关系的 Python 示例代码，用于通过给定的角度 \( \nu \) 来反向求解对应的马赫数 \( M \)[^3]。此方法利用迭代法来逼近满足条件的马赫数。 #### 背景理论 对于理想气体，在一维绝热流动条件下，普朗特-迈耶函数定义为： \[ \nu(M) = \sqrt{\frac{k+1}{k-1}} \cdot \arctan\left(\sqrt{\frac{k-1}{k+1} \cdot (M^2 - 1)}\right) - \arctan\left(\sqrt{M^2 - 1}\right) \] 其中： - \( k \): 比热比（通常空气取值为 1.4） - \( M \): 马赫数 - \( \nu \): 普朗特-迈耶角（单位为弧度） 为了从已知角度 \( \nu \) 反推出马赫数 \( M \)，可以采用数值方法如二分查找或牛顿迭代法[^4]。 --- #### Python 示例代码 ```python import numpy as np def prandtl_meyer_angle(M, gamma=1.4): """ 计算给定马赫数下的普朗特-迈耶角 ν。 参数: M: float, 马赫数 (>1) gamma: float, 比热比，默认为空气的 γ=1.4 返回: nu: float, 普朗特-迈耶角 (rad) """ term1 = np.sqrt((gamma + 1) / (gamma - 1)) term2 = np.arctan(np.sqrt(((gamma - 1) / (gamma + 1)) * (M ** 2 - 1))) term3 = np.arctan(np.sqrt(M ** 2 - 1)) return term1 * term2 - term3 def mach_from_prandtl_meyer(nu_target, tol=1e-6, max_iter=100, gamma=1.4): """ 使用二分法找到对应于目标普朗特-迈耶角的马赫数。 参数: nu_target: float, 目标普朗特-迈耶角 (rad) tol: float, 收敛精度阈值，默认为 1e-6 max_iter: int, 最大迭代次数，默认为 100 gamma: float, 比热比，默认为空气的 γ=1.4 返回: M_result: float, 找到的马赫数 """ # 初始范围设定 M_low = 1.0 M_high = 10.0 # 假设最大可能马赫数为 10 for _ in range(max_iter): M_mid = (M_low + M_high) / 2 nu_calculated = prandtl_meyer_angle(M_mid, gamma) if abs(nu_calculated - nu_target) < tol: break if nu_calculated < nu_target: M_low = M_mid else: M_high = M_mid return M_mid # 测试部分 if __name__ == "__main__": target_nu_rad = np.radians(50) # 将角度转换为弧度制 calculated_M = mach_from_prandtl_meyer(target_nu_rad) print(f"Target Prandtl-Meyer Angle: {np.degrees(target_nu_rad):.2f}°") print(f"Calculated Mach Number: {calculated_M:.6f}") ``` 上述代码分为两部分： 1. `prandtl_meyer_angle` 函数：根据输入的马赫数 \( M \) 和比热比 \( \gamma \)，返回相应的普朗特-迈耶角 \( \nu \)。 2. `mach_from_prandtl_meyer` 函数：使用二分法逆向求解指定 \( \nu \) 下的马赫数 \( M \)。 运行该脚本时，可以通过调整参数测试不同情况下的结果。 --- ### 注意事项 如果遇到类似索引越界等问题，则可能是由于初始边界设置不合理或者算法未收敛所致。建议适当扩大初始搜索区间并增加迭代次数以提高鲁棒性[^2]。