### Kolmogorov-Smirnov (K-S) 检验简介 Kolmogorov-Smirnov (K-S) 检验是一种用于比较两个概率分布之间差异的非参数检验方法。它可以用来测试一组观测数据是否来自某个特定的概率分布，或者两组独立的数据是否有相同的分布[^3]。 在 Python 中，`scipy.stats` 提供了一个名为 `kstest` 的函数来执行 K-S 检验。以下是其实现和使用说明： --- ### 使用 `scipy.stats.kstest` 进行单样本 K-S 检验 #### 单样本 K-S 检验的目的 单样本 K-S 检验用于判断给定的一组样本是否可能来自于某一已知的理论分布（例如正态分布、均匀分布等）。其原假设为：样本数据服从指定的理论分布。 #### 实现代码示例 以下是一个完整的代码示例，展示如何利用 `scipy.stats.kstest` 对一组随机数进行单样本 K-S 检验，验证它们是否符合标准正态分布 \(N(0, 1)\): ```python import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt # 生成模拟数据 np.random.seed(42) data = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=100) # 执行单样本 K-S 检验 statistic, p_value = stats.kstest(data, 'norm', args=(0, 1)) print(f'K-S 统计量: {statistic}') print(f'P 值: {p_value}') # 可视化 ECDF 和理论 CDF plt.figure(figsize=(8, 6)) xs = np.linspace(-4, 4, 1000) ecdf = stats.cumfreq(data, numbins=len(data))[0].cumsum() / len(data) cdf_theoretical = stats.norm.cdf(xs, loc=0, scale=1) plt.step(sorted(data), ecdf, where='post', label="Empirical CDF", color="blue") plt.plot(xs, cdf_theoretical, label="Theoretical CDF", linestyle="--", color="red") plt.title("Empirical vs Theoretical CDF") plt.xlabel("Value") plt.ylabel("Cumulative Probability") plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` 上述代码中： - 数据由标准正态分布生成； - 调用了 `stats.kstest` 函数并传入 `'norm'` 表明我们希望将其与正态分布对比； - 输出了 K-S 检验的结果——统计量和 P 值； - 同时绘制了经验累积分布函数 (ECDF) 和理论累计分布函数 (CDF)，便于直观理解两者之间的差距。 --- ### 使用 `scipy.stats.kstest` 进行双样本 K-S 检验 #### 双样本 K-S 检验的目的 双样本 K-S 检验用于评估两组独立样本是否具有相同的基础分布。它的零假设是这两组样本来源于同一个连续分布。 #### 实现代码示例 下面展示了如何通过 `scipy.stats.ks_2samp` 来完成双样本 K-S 检验的任务： ```python # 创建两组不同的数据集 sample1 = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=100) sample2 = np.random.normal(loc=0.5, scale=1, size=100) # 执行双样本 K-S 检验 statistic, p_value = stats.ks_2samp(sample1, sample2) print(f'Double Sample K-S Statistic: {statistic}') print(f'Double Sample K-S P Value: {p_value}') ``` 此部分演示了当第二组数据均值发生偏移 (\(\mu=0.5\)) 时，双样本 K-S 检验能够检测到这种变化的能力。 --- ### 结果解释 对于以上两种情况下的输出结果： - 如果 **P 值小于显著性水平 \(\alpha\) （通常取 0.05)** ，则拒绝原假设，认为样本不符合目标分布或两组样本不属于同一分布。 - 若 **P 值大于等于 \(\alpha\)** ，无法拒绝原假设，即可以暂时接受样本符合该分布或属于同一种分布这一结论。 注意，在实际应用过程中还需要考虑其他因素如样本大小等因素的影响。 ---