### 使用Python实现一元多项式的加法、减法和乘法运算 以下是一个完整的解决方案，其中定义了一个名为 `Polynomial` 的类来封装一元多项式的核心功能。此类实现了多项式的初始化、加法、减法、乘法以及字符串化等功能。 --- #### 类定义：`Polynomial` ```python class Polynomial: def __init__(self, coefficients): """ 初始化多项式对象。 参数： coefficients -- 列表形式的多项式系数，按幂次从低到高排列。 例如 [1, 2, 3] 表示多项式 1 + 2x + 3x^2。 """ self.coefficients = self._remove_leading_zeros(coefficients) @staticmethod def _remove_leading_zeros(coeffs): """移除最高位多余的零""" if not coeffs: return [0] index = len(coeffs) - 1 while index >= 0 and coeffs[index] == 0: index -= 1 return coeffs[:index + 1] or [0] def __str__(self): """ 将多项式转换为可读的字符串形式。 """ terms = [] for power, coeff in enumerate(self.coefficients): if coeff != 0: term = "" if abs(coeff) != 1 or power == 0: term += f"{abs(coeff)}" if power > 0: term += "x" if power > 1: term += f"^{power}" if coeff < 0: term = "-" + term terms.append(term) if not terms: return "0" return " + ".join(reversed(terms)).replace("+ -", "- ") def evaluate(self, value): """ 计算多项式在指定值处的结果。 参数： value -- 输入变量的值 返回值： 多项式在该值下的结果。 """ result = 0 for power, coeff in enumerate(self.coefficients): result += coeff * (value ** power) return result def __add__(self, other): """ 实现多项式的加法。 """ max_len = max(len(self.coefficients), len(other.coefficients)) result_coeffs = [ (self.coefficients[i] if i < len(self.coefficients) else 0) + (other.coefficients[i] if i < len(other.coefficients) else 0) for i in range(max_len) ] return Polynomial(result_coeffs) def __sub__(self, other): """ 实现多项式的减法。 """ max_len = max(len(self.coefficients), len(other.coefficients)) result_coeffs = [ (self.coefficients[i] if i < len(self.coefficients) else 0) - (other.coefficients[i] if i < len(other.coefficients) else 0) for i in range(max_len) ] return Polynomial(result_coeffs) def __mul__(self, other): """ 实现多项式的乘法。 """ degree1 = len(self.coefficients) - 1 degree2 = len(other.coefficients) - 1 result_degree = degree1 + degree2 result_coeffs = [0] * (result_degree + 1) for i in range(len(self.coefficients)): for j in range(len(other.coefficients)): result_coeffs[i + j] += self.coefficients[i] * other.coefficients[j] return Polynomial(result_coeffs) ``` [^4] --- #### 测试代码 下面是一些测试用例，展示如何使用上述类执行加法、减法和乘法运算。 ```python if __name__ == "__main__": # 创建两个多项式实例 p1 = Polynomial([1, 2, 3]) # 表示 1 + 2x + 3x^2 p2 = Polynomial([6, 5, 4]) # 表示 6 + 5x + 4x^2 # 加法 p_add = p1 + p2 print(f"P1 + P2 = {p_add}") # 输出应为 7 + 7x + 7x^2 # 减法 p_sub = p1 - p2 print(f"P1 - P2 = {p_sub}") # 输出应为 -5 - 3x - x^2 # 乘法 p_mul = p1 * p2 print(f"P1 * P2 = {p_mul}") # 输出应为 6 + 17x + 28x^2 + 22x^3 + 12x^4 # 求值 value_at_2_p1 = p1.evaluate(2) print(f"P1 at x=2 is {value_at_2_p1}") # 应输出 17 ``` [^5] --- ### 解释与分析 - **加法**：通过逐项相加两个多项式的对应系数实现。如果某一项缺失，则将其视为零。 - **减法**：类似于加法，只是将第二个多项式的系数取反后再进行逐项相加。 - **乘法**：采用嵌套循环的方式遍历两个多项式的每一对系数组合，并将它们的乘积累计到目标多项式的相应位置上。 - **字符串化**：提供了一种直观的方式来显示多项式的表达式，便于调试和理解。 [^6] ---