# 信号处理实战：如何用Python快速实现傅里叶变换（附完整代码） 如果你正在处理传感器数据、音频信号，或者任何随时间变化的序列，那么频谱分析几乎是你绕不开的一步。而傅里叶变换，正是将时间信号“翻译”成频率成分的核心工具。很多教材和文章会花大量篇幅讲解其背后的复变函数和积分变换理论，这固然重要，但对于大多数工程师和数据分析师而言，更迫切的需求是：**如何用代码快速、准确地实现它，并直观地看到结果**。这篇文章就是为你准备的。我们将完全从工程应用的角度出发，手把手教你使用Python的NumPy和SciPy库，对常见的信号（如正弦波、方波）进行傅里叶变换，并通过可视化来解读频谱图，解决实际项目中遇到的频谱泄露、频率分辨率等具体问题。你会发现，抛开复杂的数学推导，用代码实现并理解傅里叶变换，其实可以很直接。 ## 1. 环境准备与核心库概览 在开始写代码之前，确保你的Python环境已经就绪。我强烈建议使用Anaconda来管理环境，它能避免很多依赖库的冲突问题。创建一个新的虚拟环境是个好习惯，例如命名为 `signal_processing`。 ```bash conda create -n signal_processing python=3.9 conda activate signal_processing ``` 接下来，安装我们本次实战所需的几个核心库。除了基础的NumPy和SciPy，用于绘图的Matplotlib和进行更高级信号处理的Scikit-learn（用于一些数据预处理示例）也一并安装。 ```bash pip install numpy scipy matplotlib scikit-learn ``` 现在，让我们快速认识一下今天的主角们： * **NumPy**：Python科学计算的基石。它提供了高效的多维数组对象和广播功能。傅里叶变换在NumPy中通过 `numpy.fft` 模块实现，其算法基础是高效的快速傅里叶变换（FFT）。 * **SciPy**：建立在NumPy之上的科学计算库，功能更为丰富和稳健。`scipy.fft` 模块是NumPy FFT的增强版，通常被认为是更新的、更推荐的选择，尤其是在处理实数信号时，它提供了更清晰的接口和默认的标准化处理。 * **Matplotlib**：数据可视化的标准库。我们将用它来绘制原始信号、频谱图，让抽象的数据变得一目了然。 为了在后续代码中方便调用，我们首先进行统一的导入。我习惯将常用的模块用简写别名导入，这能让代码更简洁。 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy import fftpack import warnings warnings.filterwarnings('ignore') # 忽略一些不影响运行的警告，让输出更干净 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用来正常显示中文标签 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用来正常显示负号 ``` > 提示：`scipy.fftpack` 是一个旧模块，虽然仍可使用，但SciPy官方推荐使用更新的 `scipy.fft`。不过，`fftpack`中的一些特定函数（如`fftshift`）依然常用。在本文中，我们会主要使用 `scipy.fft`，并在需要时指出两者的细微差别。 ## 2. 从生成一个测试信号开始 理论说得再多，不如动手生成一个信号来看看。理解傅里叶变换最直观的方式，就是从合成信号开始，再对其进行分析。我们首先生成一个包含多个频率成分的复合信号。 假设我们有一个采样频率 `Fs = 1000 Hz`，这意味着每秒钟采集1000个数据点。我们打算生成持续1秒钟的信号，那么总采样点数 `N = Fs * 1 = 1000`。时间轴 `t` 就可以通过 `np.linspace` 生成。 现在，我们来构造一个信号，它由三个正弦波叠加而成： 1. 一个5 Hz的低频信号，振幅为3。 2. 一个50 Hz的中频信号，振幅为1。 3. 一个120 Hz的高频信号，振幅为0.5。 此外，为了模拟真实世界中的信号，我们通常还会加入一些随机噪声。下面是生成这个信号的完整代码： ```python # 信号参数设置 Fs = 1000 # 采样频率 (Hz) T = 1.0 # 信号总时长 (秒) N = int(Fs * T) # 总采样点数 t = np.linspace(0.0, T, N, endpoint=False) # 时间向量，不包含终点以避免重复 # 生成三个频率成分的正弦波 freq1, amp1 = 5.0, 3.0 freq2, amp2 = 50.0, 1.0 freq3, amp3 = 120.0, 0.5 component1 = amp1 * np.sin(2 * np.pi * freq1 * t) component2 = amp2 * np.sin(2 * np.pi * freq2 * t) component3 = amp3 * np.sin(2 * np.pi * freq3 * t) # 合成信号并加入高斯白噪声 signal = component1 + component2 + component3 noise_amplitude = 0.2 signal += noise_amplitude * np.random.randn(N) # 加入随机噪声 # 可视化原始信号 fig, axes = plt.subplots(4, 1, figsize=(10, 8), sharex=True) axes[0].plot(t, component1, label=f'{freq1} Hz Component', alpha=0.7) axes[0].set_ylabel('Amplitude') axes[0].legend() axes[0].grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) axes[1].plot(t, component2, label=f'{freq2} Hz Component', alpha=0.7, color='orange') axes[1].set_ylabel('Amplitude') axes[1].legend() axes[1].grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) axes[2].plot(t, component3, label=f'{freq3} Hz Component', alpha=0.7, color='green') axes[2].set_ylabel('Amplitude') axes[2].legend() axes[2].grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) axes[3].plot(t, signal, label='Composite Signal with Noise', color='red', linewidth=1) axes[3].set_xlabel('Time [s]') axes[3].set_ylabel('Amplitude') axes[3].legend() axes[3].grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) plt.suptitle('Time Domain Signal Components') plt.tight_layout() plt.show() ``` 运行这段代码，你会看到四张子图，分别展示了5Hz、50Hz、120Hz的单频信号以及它们叠加并加噪后的最终信号。在时域图上，复合信号已经显得有些杂乱，尤其是加入了噪声之后，我们很难直接分辨出其中到底包含了哪些频率成分。这正是我们需要傅里叶变换的原因——将信号从时域转换到频域，让隐藏的频率结构显现出来。 ## 3. 执行快速傅里叶变换（FFT）与频谱解读 有了时域信号，我们现在使用SciPy的FFT函数来对其进行变换。这里我们使用 `scipy.fft.fft`。计算完成后，我们会得到一组复数结果，它包含了每个频率成分的幅度和相位信息。对于频谱分析，我们通常更关心幅度谱。 ```python from scipy.fft import fft, fftfreq # 执行FFT signal_fft = fft(signal) # 计算对应的频率轴 # fftfreq 返回FFT输出结果中每个点对应的频率（单位：Hz） freqs = fftfreq(N, 1/Fs) # 计算幅度谱 (取绝对值，并考虑采样点数N进行归一化) magnitude_spectrum = np.abs(signal_fft) / N # 双边谱归一化 # 对于实数信号，频谱是对称的，我们通常只取前半部分（正频率） half_n = N // 2 positive_freqs = freqs[:half_n] positive_magnitude = magnitude_spectrum[:half_n] * 2 # 对于单边谱，幅度需要乘以2（直流分量除外） positive_magnitude[0] /= 2 # 直流分量（0Hz）不需要乘以2 # 可视化频谱 fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 8)) # 绘制双边频谱（对称） ax[0].stem(freqs, magnitude_spectrum, linefmt='grey', markerfmt=' ', basefmt=" ") ax[0].set_xlabel('Frequency [Hz]') ax[0].set_ylabel('Magnitude') ax[0].set_title('Two-Sided Magnitude Spectrum') ax[0].set_xlim([-Fs/2, Fs/2]) # 显示整个频率范围 ax[0].grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) # 绘制单边频谱（仅正频率，更常用） ax[1].stem(positive_freqs, positive_magnitude, linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt=" ") ax[1].set_xlabel('Frequency [Hz]') ax[1].set_ylabel('Magnitude') ax[1].set_title('One-Sided Magnitude Spectrum (Positive Frequencies)') ax[1].set_xlim([0, Fs/2]) # 奈奎斯特频率 ax[1].grid(True, linestyle='--', alpha=0.5) # 在单边频谱上标记我们预设的频率点 for freq, amp in zip([freq1, freq2, freq3], [amp1, amp2, amp3]): ax[1].axvline(x=freq, color='red', linestyle='--', alpha=0.5) ax[1].text(freq+2, amp*0.9, f'{freq} Hz', color='red') plt.tight_layout() plt.show() ``` 现在，重点来了。观察生成的单边频谱图，你应该能清晰地看到在5Hz、50Hz和120Hz处出现了明显的尖峰，其幅度大致对应我们之前设置的3、1和0.5。这就是傅里叶变换的魔力：它将时域中混杂在一起的信号，在频域中清晰地分解开来。频谱中其他位置的小幅度波动，主要来源于我们添加的随机噪声。 这里有几个关键概念需要理解： * **频率轴 (`freqs`)**：由 `fftfreq(N, 1/Fs)` 生成。它的范围是从 `-Fs/2` 到 `+Fs/2`（双边谱）。根据奈奎斯特采样定理，我们能无混叠分析的最高频率是 `Fs/2`（即500Hz），这被称为奈奎斯特频率。 * **幅度谱 (`magnitude_spectrum`)**：通过对FFT结果取绝对值 `np.abs()` 得到，它代表了每个频率成分的强度。为了使其物理意义更明确（即幅度与原始信号振幅对应），我们通常除以采样点数 `N` 进行归一化。 * **单边谱与双边谱**：由于实数信号的频谱是共轭对称的，其负频率部分是正频率部分的镜像，不携带新的信息。因此，在工程上我们通常只绘制和关注正频率部分的单边谱。在绘制单边谱时，除了直流分量（0Hz），其他频率的幅度需要乘以2，以补偿丢弃负频率部分所损失的能量。 为了更直观地对比，我们可以将理论频率和从频谱中检测到的主要峰值进行对比。下面的代码片段展示了如何从频谱中自动提取前几个主要频率成分： ```python # 从单边谱中寻找峰值（幅度最大的几个频率） from scipy.signal import find_peaks # 设置一个阈值，忽略噪声引起的小峰值 height_threshold = 0.1 peaks, properties = find_peaks(positive_magnitude, height=height_threshold) # 按峰值高度排序 peak_indices = peaks[np.argsort(positive_magnitude[peaks])[::-1]] # 降序排列 print("Detected dominant frequencies and magnitudes:") for i, idx in enumerate(peak_indices[:5]): # 打印前5个主要峰值 print(f" Peak {i+1}: Frequency = {positive_freqs[idx]:.2f} Hz, Magnitude = {positive_magnitude[idx]:.3f}") ``` 运行后，输出应该会准确识别出5Hz、50Hz和120Hz附近的频率及其幅度。 ## 4. 处理非周期信号与频谱泄露问题 上面的例子很完美，因为我们生成的信号频率恰好是频率分辨率的整数倍。频率分辨率 `df = Fs / N = 1 Hz`，而我们的信号频率5、50、120都是1的整数倍，所以频谱能量完美地集中在单个频率点上。但在现实中，信号频率往往不是频率分辨率的整数倍，这时就会出现**频谱泄露**现象。 让我们生成一个频率为52.3 Hz（非整数倍）的正弦波，看看会发生什么。 ```python # 生成一个非整数倍频率的信号 freq_non_integer = 52.3 # Hz signal_leak = 1.0 * np.sin(2 * np.pi * freq_non_integer * t) # 执行FFT fft_leak = fft(signal_leak) magnitude_leak = np.abs(fft_leak) / N positive_magnitude_leak = 2 * magnitude_leak[:half_n] positive_magnitude_leak[0] /= 2 # 可视化 fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 4)) ax1.plot(t[:100], signal_leak[:100]) # 只画前100个点看细节 ax1.set_xlabel('Time [s]') ax1.set_ylabel('Amplitude') ax1.set_title(f'Time Domain Signal ({freq_non_integer} Hz)') ax1.grid(True) ax2.stem(positive_freqs, positive_magnitude_leak, linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt=" ") ax2.axvline(x=freq_non_integer, color='red', linestyle='--', label=f'True Freq: {freq_non_integer} Hz') ax2.set_xlabel('Frequency [Hz]') ax2.set_ylabel('Magnitude') ax2.set_title('Spectrum with Leakage') ax2.set_xlim([40, 65]) ax2.legend() ax2.grid(True) plt.tight_layout() plt.show() ``` 你会看到，频谱图不再是一个干净的尖峰，而是在52.3Hz周围出现了一个“主瓣”，并向两侧延伸出许多逐渐衰减的“旁瓣”。能量似乎“泄露”到了邻近的频率区间。这是因为我们对有限长度的信号（默认相当于加了一个矩形窗）进行FFT，假设信号在观测窗外是周期性的。当信号频率不是频率分辨率的整数倍时，这种周期性假设在边界处不连续，导致了泄露。 **如何缓解频谱泄露？答案是使用窗函数。** 窗函数在信号两端进行平滑衰减，减少边界不连续的影响。常用的窗函数有汉宁窗（Hanning）、汉明窗（Hamming）、布莱克曼窗（Blackman）等。 | 窗函数 | 主瓣宽度 | 旁瓣衰减 | 典型应用场景 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | **矩形窗** | 最窄 | 最差 (-13 dB) | 频率恰好为分辨率整数倍时，或需要最高频率分辨率时 | | **汉宁窗** | 较宽 | 较好 (-31 dB) | 通用性强，平衡了频率分辨率和频谱泄露，最常用 | | **汉明窗** | 与汉宁窗相近 | 旁瓣衰减更均匀 | 常用于音频处理 | | **布莱克曼窗** | 最宽 | 最好 (-61 dB) | 对旁瓣抑制要求极高的场景，但频率分辨率损失大 | 让我们对同一个52.3Hz的信号应用汉宁窗，看看效果： ```python # 应用汉宁窗 window = np.hanning(N) signal_windowed = signal_leak * window # 对加窗信号进行FFT fft_windowed = fft(signal_windowed) # 注意：加窗后信号总能量发生变化，幅度需要根据窗函数的相干增益进行补偿 coherent_gain = np.mean(window) # 汉宁窗的相干增益约为0.5 magnitude_windowed = np.abs(fft_windowed) / (N * coherent_gain) positive_magnitude_windowed = 2 * magnitude_windowed[:half_n] positive_magnitude_windowed[0] /= 2 # 可视化对比 fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 8)) # 时域信号对比 axes[0, 0].plot(t[:100], signal_leak[:100], label='Original') axes[0, 0].set_title('Original Signal (Segment)') axes[0, 0].set_ylabel('Amplitude') axes[0, 0].legend() axes[0, 0].grid(True) axes[0, 1].plot(t[:100], signal_windowed[:100], color='orange', label='Windowed (Hanning)') axes[0, 1].plot(t[:100], window[:100], color='grey', linestyle='--', alpha=0.7, label='Hanning Window') axes[0, 1].set_title('Windowed Signal (Segment)') axes[0, 1].legend() axes[0, 1].grid(True) # 频域频谱对比 axes[1, 0].stem(positive_freqs, positive_magnitude_leak, linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt=" ") axes[1, 0].axvline(x=freq_non_integer, color='red', linestyle='--') axes[1, 0].set_title('Spectrum (No Window)') axes[1, 0].set_ylabel('Magnitude') axes[1, 0].set_xlim([40, 65]) axes[1, 0].grid(True) axes[1, 1].stem(positive_freqs, positive_magnitude_windowed, linefmt='g-', markerfmt='go', basefmt=" ") axes[1, 1].axvline(x=freq_non_integer, color='red', linestyle='--') axes[1, 1].set_title('Spectrum (With Hanning Window)') axes[1, 1].set_xlabel('Frequency [Hz]') axes[1, 1].set_xlim([40, 65]) axes[1, 1].grid(True) plt.tight_layout() plt.show() ``` 对比右侧的两张频谱图，你可以明显看到，使用汉宁窗后，旁瓣被极大地抑制了（能量更集中在主瓣），虽然主瓣变得更宽（频率分辨率略有下降），但频谱泄露现象得到了显著改善。在实际工程中，根据你对频率分辨率和旁瓣抑制的不同要求，选择合适的窗函数是一项重要的调优工作。 ## 5. 实战案例：分析方波与脉冲信号的频谱 除了正弦波，分析其他波形能加深我们对频谱的理解。方波和脉冲信号在数字电路和通信中非常常见。它们的频谱具有鲜明的特征。 **案例一：方波信号的频谱** 一个理想的周期方波，其频谱由基频和奇次谐波组成，且谐波幅度以 `1/n` 的规律衰减。 ```python # 生成一个10Hz的方波 freq_square = 10.0 # 使用符号函数生成方波 square_wave = np.sign(np.sin(2 * np.pi * freq_square * t)) # 为了减少频谱泄露，我们生成整数个周期 num_periods = 10 T_period = 1.0 / freq_square t_exact = np.linspace(0.0, num_periods * T_period, int(Fs * num_periods * T_period), endpoint=False) square_wave_exact = np.sign(np.sin(2 * np.pi * freq_square * t_exact)) N_exact = len(t_exact) # 计算频谱（使用汉宁窗减少泄露） window = np.hanning(N_exact) square_windowed = square_wave_exact * window fft_square = fft(square_windowed) freqs_square = fftfreq(N_exact, 1/Fs) magnitude_square = np.abs(fft_square) / (N_exact * np.mean(window)) positive_freqs_sq = freqs_square[:N_exact//2] positive_magnitude_sq = 2 * magnitude_square[:N_exact//2] positive_magnitude_sq[0] /= 2 # 可视化 fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 8)) ax1.plot(t_exact[:int(Fs/freq_square)*2], square_wave_exact[:int(Fs/freq_square)*2]) # 画两个周期 ax1.set_xlabel('Time [s]') ax1.set_ylabel('Amplitude') ax1.set_title('Time Domain: Square Wave (10 Hz)') ax1.grid(True) ax2.stem(positive_freqs_sq, positive_magnitude_sq, linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt=" ") ax2.set_xlabel('Frequency [Hz]') ax2.set_ylabel('Magnitude') ax2.set_title('Frequency Domain: Square Wave Spectrum') ax2.set_xlim([0, 200]) ax2.grid(True) # 标记理论谐波位置 for n in range(1, 10, 2): # 奇次谐波 harmonic_freq = n * freq_square ax2.axvline(x=harmonic_freq, color='red', linestyle=':', alpha=0.5) ax2.text(harmonic_freq+2, 0.05, f'{n}f0', color='red', fontsize=8) plt.tight_layout() plt.show() ``` 观察频谱图，你会看到在10Hz（基频）、30Hz、50Hz、70Hz等位置出现了峰值，这正是奇次谐波。偶数次谐波的理论幅度为0，在图中由于计算误差和窗函数影响，表现为非常小的值。 **案例二：单脉冲信号的频谱** 一个在时域上非常短暂的脉冲（近似狄拉克δ函数），其频谱在很宽的频率范围内都较为平坦，这体现了时域“窄”则频域“宽”的特性。 ```python # 生成一个单脉冲信号（在中间位置有一个尖峰） pulse_signal = np.zeros(N) pulse_signal[N//2] = 1.0 # 在信号中心点放置一个单位脉冲 # 计算频谱 fft_pulse = fft(pulse_signal) magnitude_pulse = np.abs(fft_pulse) / N positive_magnitude_pulse = 2 * magnitude_pulse[:half_n] positive_magnitude_pulse[0] /= 2 # 可视化 fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 8)) ax1.stem(np.arange(N)[N//2-10:N//2+11], pulse_signal[N//2-10:N//2+11], linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt=" ") ax1.set_xlabel('Sample Index') ax1.set_ylabel('Amplitude') ax1.set_title('Time Domain: Single Impulse (Dirac Delta Approximation)') ax1.grid(True) ax2.plot(positive_freqs, positive_magnitude_pulse) ax2.set_xlabel('Frequency [Hz]') ax2.set_ylabel('Magnitude') ax2.set_title('Frequency Domain: Impulse Spectrum (Wideband)') ax2.set_yscale('log') # 使用对数坐标更清晰地观察宽带特性 ax2.set_xlim([0, Fs/2]) ax2.grid(True) plt.tight_layout() plt.show() ``` 在脉冲信号的频谱图中（注意纵轴是对数坐标），你会看到幅度在整个频率范围内大致保持恒定，这验证了理想脉冲具有无限宽的带宽这一理论特性。在实际中，任何物理实现的脉冲都有有限的带宽。 ## 6. 逆变换与信号重构：从频域回到时域 傅里叶变换是可逆的。我们可以对频域数据进行修改（例如滤波），然后通过逆傅里叶变换（IFFT）将其恢复到时域。这是许多信号处理应用（如滤波、降噪）的基础。让我们用最初的复合信号来演示这个过程。 首先，我们对原始信号进行FFT，然后在频域中“滤除”50Hz和120Hz的成分（将其对应频率的幅度设为零），最后进行IFFT，看看能否恢复出只剩下5Hz成分的信号。 ```python from scipy.fft import ifft # 对最初的复合信号进行FFT original_fft = fft(signal) # 创建频域滤波器：一个全1的掩膜 filter_mask = np.ones(N, dtype=complex) # 找到50Hz和120Hz对应的频率索引（考虑双边谱） # 注意：freqs包含正负频率，我们需要同时处理正负频率分量以保持信号的实数性质。 freq_to_remove = [50.0, 120.0] for f_remove in freq_to_remove: # 找到正频率索引 idx_pos = np.argmin(np.abs(freqs - f_remove)) # 找到对应的负频率索引（频谱是共轭对称的） idx_neg = np.argmin(np.abs(freqs - (-f_remove))) # 将对应频率分量的幅度设为零（同时处理实部和虚部） filter_mask[idx_pos] = 0.0 filter_mask[idx_neg] = 0.0 print(f"Removing frequency component at +/- {f_remove} Hz (indices {idx_pos}, {idx_neg})") # 应用滤波器 filtered_fft = original_fft * filter_mask # 执行逆傅里叶变换 reconstructed_signal = np.real(ifft(filtered_fft)) # 取实部，理论上虚部应为0 # 可视化对比 fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(12, 9), sharex=True) axes[0].plot(t, signal, label='Original Noisy Signal', alpha=0.7, linewidth=1) axes[0].set_ylabel('Amplitude') axes[0].set_title('Original Signal (5Hz + 50Hz + 120Hz + Noise)') axes[0].legend() axes[0].grid(True) axes[1].plot(t, reconstructed_signal, label='Reconstructed (5Hz only)', color='green', linewidth=2) axes[1].set_ylabel('Amplitude') axes[1].set_title('Signal after Filtering out 50Hz and 120Hz') axes[1].legend() axes[1].grid(True) # 绘制理想5Hz信号作为对比 axes[2].plot(t, component1, label='Ideal 5Hz Component', linestyle='--', color='red', alpha=0.8) axes[2].plot(t, reconstructed_signal, label='Reconstructed', color='green', alpha=0.6) axes[2].set_xlabel('Time [s]') axes[2].set_ylabel('Amplitude') axes[2].set_title('Comparison: Reconstructed vs. Ideal 5Hz Signal') axes[2].legend() axes[2].grid(True) plt.tight_layout() plt.show() # 计算重构误差（与理想5Hz信号相比） error = reconstructed_signal - component1 print(f"\nReconstruction Error Analysis:") print(f" Max Absolute Error: {np.max(np.abs(error)):.6f}") print(f" Root Mean Square Error (RMSE): {np.sqrt(np.mean(error**2)):.6f}") ``` 运行这段代码，你会看到第一张图是原始的含噪复合信号，第二张图是滤除50Hz和120Hz后重构的信号，第三张图将重构信号与理想的5Hz正弦波进行对比。你会发现，除了起始和结束部分由于滤波器的瞬态效应（吉布斯现象）以及噪声残留有一些畸变外，信号的主体部分几乎完美地还原了5Hz的正弦波。输出的误差分析数据也显示了极小的误差。 这个简单的例子展示了频域滤波的强大能力。在实际项目中，你可以设计更复杂的滤波器（如低通、高通、带阻），在频域对信号进行任意形状的修改，然后再转换回时域。