### 使用 Python 实现拉格朗日乘子法求解 要解决这个问题，可以通过定义目标函数和约束条件并利用拉格朗日乘子法来完成。以下是详细的推导过程以及相应的 Python 实现。 #### 1. 定义问题 我们需要找到双曲线 \( xy = 3 \) 上离原点最近的点及其对应的距离。 设目标函数为最小化欧几里得距离平方： \[ f(x, y) = x^2 + y^2 \] 约束条件为： \[ g(x, y) = xy - 3 = 0 \] 引入拉格朗日乘子 \( \lambda \)，构建拉格朗日函数： \[ L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (xy - 3) \] 分别对 \( x \), \( y \), 和 \( \lambda \) 求偏导数，并令其等于零： \[ \frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda y = 0 \tag{1} \] \[ \frac{\partial L}{\partial y} = 2y + \lambda x = 0 \tag{2} \] \[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = xy - 3 = 0 \tag{3} \] 由方程组 (1)-(3) 可以得到三个未知数 \( x \), \( y \), 和 \( \lambda \) 的关系。 --- #### 2. 解析方法 从方程 (1) 得到： \[ \lambda = -\frac{2x}{y} \tag{4} \] 从方程 (2) 得到： \[ \lambda = -\frac{2y}{x} \tag{5} \] 联立 (4) 和 (5): \[ -\frac{2x}{y} = -\frac{2y}{x} \implies x^2 = y^2 \implies x = \pm y \] 代入约束条件 \( xy = 3 \): 当 \( x = y \): \[ x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}, y = \sqrt{3} \text{ 或 } x = -\sqrt{3}, y = -\sqrt{3} \] 当 \( x = -y \): \[ -x^2 = 3 \], 这无实数解。 因此，满足条件的两个点分别为 \( (\sqrt{3}, \sqrt{3}) \) 和 \( (-\sqrt{3}, -\sqrt{3}) \). 计算这两个点到原点的距离： \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6} \] --- #### 3. Python 实现 下面是一个基于 `scipy.optimize` 库的实现方式，用于验证上述解析结果。 ```python import numpy as np from scipy.optimize import minimize # 定义目标函数（距离平方） def objective(vars): x, y = vars return x**2 + y**2 # 定义约束条件 def constraint(vars): x, y = vars return x * y - 3 # 初始猜测值 initial_guess = [1, 1] # 设置约束字典 constraint_dict = {'type': 'eq', 'fun': constraint} # 边界设置（可选） bounds = [(-10, 10), (-10, 10)] # 调用优化器 solution = minimize(objective, initial_guess, method='SLSQP', bounds=bounds, constraints=[constraint_dict]) # 输出结果 print(f"最优解坐标: ({solution.x[0]}, {solution.x[1]})") print(f"最短距离: {np.sqrt(solution.fun)}") ``` 运行以上代码会返回接近于 \( (\sqrt{3}, \sqrt{3}) \) 和 \( (-\sqrt{3}, -\sqrt{3}) \) 的数值解，同时给出对应的最短距离 \( \sqrt{6} \)[^3]。 --- #### 4. 结果解释 最终得出的结果表明，在双曲线 \( xy = 3 \) 上，离原点最近的两点分别是 \( (\sqrt{3}, \sqrt{3}) \) 和 \( (-\sqrt{3}, -\sqrt{3}) \)，它们到原点的距离均为 \( \sqrt{6} \)[^4]。 ---