### 使用 Python 和相关库绘制限制性立方样条图 限制性立方样条（Restricted Cubic Spline, RCS）是一种常用的非线性拟合方法，广泛应用于数据平滑和回归分析。下面将展示如何使用 `numpy`、`scipy` 和 `matplotlib` 来实现限制性立方样条图的绘制。 #### 1. 导入必要的库 首先需要导入所需的库，并确保这些库已正确安装[^2]。 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.interpolate import splrep, splev ``` #### 2. 准备数据 为了演示，我们生成一组模拟数据。假设 x 是自变量，y 是因变量。 ```python # 模拟数据 np.random.seed(42) # 固定随机种子以便结果可重复 x = np.linspace(0, 10, 100) y = np.sin(x) + np.random.normal(scale=0.2, size=len(x)) # 添加噪声 ``` #### 3. 构建限制性立方样条模型 使用 `scipy.interpolate.splrep` 函数来构建限制性立方样条模型。该函数允许指定节点数（knots），从而控制样条的复杂度。 ```python # 定义样条参数 knots = [1, 3, 5, 7, 9] # 自定义节点位置 tck = splrep(x, y, k=3, t=knots, s=0) # t: 节点位置, k: 样条阶数 (3 表示三次样条), s: 平滑因子 ``` #### 4. 计算样条值 使用 `scipy.interpolate.splev` 函数计算样条在每个 x 值处的拟合值。 ```python y_spline = splev(x, tck) ``` #### 5. 绘制结果 将原始数据和限制性立方样条拟合结果绘制在同一张图上。 ```python plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.scatter(x, y, color='blue', label='原始数据', alpha=0.6) plt.plot(x, y_spline, color='red', label='限制性立方样条拟合') plt.title('限制性立方样条拟合示例') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` #### 6. 完整代码 以下是完整的代码示例： ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.interpolate import splrep, splev # 模拟数据 np.random.seed(42) x = np.linspace(0, 10, 100) y = np.sin(x) + np.random.normal(scale=0.2, size=len(x)) # 定义样条参数 knots = [1, 3, 5, 7, 9] tck = splrep(x, y, k=3, t=knots, s=0) # 计算样条值 y_spline = splev(x, tck) # 绘制结果 plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.scatter(x, y, color='blue', label='原始数据', alpha=0.6) plt.plot(x, y_spline, color='red', label='限制性立方样条拟合') plt.title('限制性立方样条拟合示例') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` ### 注意事项 - 节点数的选择对拟合效果有重要影响。如果节点过多，可能导致过拟合；如果节点过少，则可能欠拟合[^3]。 - 参数 `s` 控制平滑程度，值为 0 表示完全通过所有数据点，值越大则越平滑。