### 实现Fisher线性判别分析（LDA） 为了实现对Iris数据集的一维投影，可以按照以下方法完成Fisher线性判别分析（LDA）。以下是详细的理论基础和代码实现。 #### 数据准备 首先加载Iris数据集，并提取特征矩阵 \(X\) 和标签向量 \(y\)。这里使用 `scikit-learn` 提供的 Iris 数据集作为输入[^1]： ```python from sklearn.datasets import load_iris import numpy as np data = load_iris() X = data.data # 特征矩阵 y = data.target # 标签向量 class_labels = np.unique(y) # 获取类别标签 ``` --- #### 计算类内散度矩阵 (\(S_W\)) 对于每一类样本计算其均值向量 \(\mu_i\) 并构建类内散度矩阵 \(S_W\)。具体公式如下： \[ S_W = \sum_{i=1}^{C} \sum_{x \in C_i} (x - \mu_i)(x - \mu_i)^T \] 其中 \(C\) 是类别数，\(C_i\) 表示第 \(i\) 类别的所有样本集合[\(^2]^。 ```python def compute_within_class_scatter(X, y): class_labels = np.unique(y) Sw = np.zeros((X.shape[1], X.shape[1])) for label in class_labels: Xi = X[y == label] mu_i = np.mean(Xi, axis=0) Si = np.dot((Xi - mu_i).T, (Xi - mu_i)) Sw += Si return Sw Sw = compute_within_class_scatter(X, y) ``` --- #### 计算类间散度矩阵 (\(S_B\)) 通过各类别均值向量与全局均值向量之间的差异来定义类间散度矩阵 \(S_B\)。具体公式为： \[ S_B = \sum_{i=1}^{C} N_i (\mu_i - \mu_T)(\mu_i - \mu_T)^T \] 其中 \(N_i\) 是第 \(i\) 类样本的数量，\(\mu_T\) 是整体样本的均值向量[^3]。 ```python def compute_between_class_scatter(X, y): overall_mean = np.mean(X, axis=0) class_labels = np.unique(y) Sb = np.zeros((X.shape[1], X.shape[1])) for label in class_labels: Xi = X[y == label] mu_i = np.mean(Xi, axis=0) Ni = Xi.shape[0] diff = mu_i - overall_mean Sb += Ni * np.outer(diff, diff) return Sb Sb = compute_between_class_scatter(X, y) ``` --- #### 求解最优投影方向 利用广义特征值分解求解 \(W\)，使得最大化目标函数 \(J(W)\): \[ J(W) = \frac{\text{Tr}(W^T S_B W)}{\text{Tr}(W^T S_W W)} \] 最终得到的投影矩阵 \(W\) 将用于降维操作[^4]。 ```python eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(np.linalg.inv(Sw).dot(Sb)) sorted_indices = np.argsort(eigenvalues)[::-1] W = eigenvectors[:, sorted_indices[:1]] # 取最大特征值对应的特征向量 ``` --- #### 投影到一维空间 将原始数据投影至由 \(W\) 定义的新坐标系下，从而获得低维度表示形式: \[ X_\text{proj} = X \cdot W \] 验证投影后数据的距离约束条件是否满足要求。 ```python X_proj = np.dot(X, W) # 验证欧氏距离 target_data = ... # 假设已知的目标数据 distance = np.sqrt(np.sum((X_proj - target_data)**2)) if distance < 10: print("Distance constraint satisfied.") else: print("Distance exceeds threshold.") ``` --- ### 结果可视化 绘制投影前后的分布情况以便直观理解效果变化趋势。 ```python import matplotlib.pyplot as plt plt.figure(figsize=(8, 4)) plt.subplot(121) for i, color in zip(class_labels, ['red', 'green', 'blue']): plt.scatter(X[y == i][:, 0], X[y == i][:, 1], c=color, label=f'Class {i}') plt.title('Original Data') plt.legend() plt.subplot(122) for i, color in zip(class_labels, ['red', 'green', 'blue']): proj_points = X_proj[y == i].flatten() # 展平成一维数组 plt.hist(proj_points, bins=10, alpha=0.5, color=color, label=f'Class {i}') plt.title('Projected Data to 1D') plt.legend() plt.show() ``` ---