### 实现线性回归模型 $ Y=\beta X+\epsilon $ 的残差计算与残差分布图绘制 以下是一个完整的 Python 代码示例，展示如何基于给定数据计算每个数据点的残差，并进一步绘制残差分布图： ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.linear_model import LinearRegression # 定义样本数据 X = np.array([5, 15, 25, 35, 45]).reshape(-1, 1) # 自变量（广告投入） y = np.array([5, 20, 14, 30, 25]) # 因变量（销售额） # 创建并训练线性回归模型 model = LinearRegression() model.fit(X, y) # 预测结果 predictions = model.predict(X) # 计算残差 residuals = y - predictions # 绘制残差图 plt.figure(figsize=(10, 5)) # 子图1：散点图形式的残差分析 plt.subplot(1, 2, 1) plt.scatter(X, residuals, color='blue') plt.axhline(y=0, color='red', linestyle='--') # 添加零基线 plt.xlabel('广告投入 (万元)') plt.ylabel('残差') plt.title('残差 vs 广告投入') # 子图2：残差分布直方图 plt.subplot(1, 2, 2) plt.hist(residuals, bins=10, density=True, alpha=0.7, color='green') plt.title('残差分布') plt.xlabel('残差值') plt.ylabel('频率密度') # 显示图形 plt.tight_layout() plt.show() # 打印模型参数和评价指标 print(f"回归方程: Y = {model.coef_[0]:.4f} * X + {model.intercept_:.4f}") # 方程表达式[^3] ``` --- #### 关键说明 - **`LinearRegression()`** 是 scikit-learn 中的核心类，用于拟合线性回归模型[^3]。 - **残差定义**：对于每一个观测值 $ y_i $，其对应的预测值为 $ \hat{y}_i $。因此，残差可表示为 $ e_i = y_i - \hat{y}_i $[^1]。 - **残差图用途**：通过观察残差随自变量的变化趋势，可以评估模型是否捕捉到了所有的信息。如果残差呈现明显的模式，则可能意味着模型忽略了某些重要关系或非线性效应[^1]。 - **残差分布图**：利用直方图可视化残差的概率分布情况，有助于验证假设条件——即残差是否近似服从正态分布[^2]。 此代码不仅实现了基本的残差计算功能，还提供了直观的图表支持以帮助理解模型性能。 --- ###